同余方程-扩展gcd

Posted 2021-01-27 yufenglin

好的，我们先来看题：

同余方程

题目描述

求关于x的同余方程ax≡1(modb) 的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式：

 

一行，包含两个正整数 a,b，用一个空格隔开。

 

输出格式：

 

一个正整数 x，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 10

输出样例#1： 复制

7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,0002≤b≤1,000；

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,0002≤b≤50,000,000；

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,0002≤a,b≤2,000,000,000。

这道题如果像我刚刚说的暴力枚举，那么虽然时间复杂度只有O（n），但由于这道题出现了longlong范围的数据，暴力枚举一定会超时，那我们该怎么办呢？

很显然这道题的题意就是找到最小正整数x，使得ax%b=1，那么我们就可以得到这样一个式子：ax+by=1（这里的y是辅助答案，并且显然y只有是负整数时才能取到最小整数x）（PS：这里用加号是为了推导比较方便，同样可以用减号）

在这里我们用到了扩展gcd，来求出x和y值，针对这道题，我们需要详细推导一下过程：

由于ax+by=gcd(a,b)[x,y均为整数],那么gcd(a,b)=gcd(b,a%b)因此bx1+(a%b)y1=ax+by，由于a%b=a-(a/b)b,那么bx1+(a-a/b*b)y1=bx1+ay1-a/b*b*y1=ay1+b(x1-a/b*y1)=ax+by

所以x=y1 y=x1-a/b*y1

那么我们目标就转移到了求x1，y1上来，于是我们依次递归下去，直到我们可以找到一组确定的x1y1，那么这个x1y1是什么呢？

很显然：当我们不断递归下去下去，当b=0时就会停止递归（辗转相除法），那么此时的x1显然只能为1了，而y1显然可以取到任何数，但个人建议取到0，以免防止越界，因此我们再递归回来并用上刚刚推导得到的结论，就可以求出一组必然的解了。

请先不要兴奋。。。

后话，如果只想到这里，那么真的还不如枚举，因为一分也得不到！

这是为什么呢？

仔细读题，我们发现题中要求的并不是一组解，而是x的最小整数解，而由于我们求的x无法判断大小，可能为正或可能为负，那么我们只要不断加上b，或减b即可。

ax+by=1

ax + by + k*ba - k*ba = 1

a(x+kb) + (y-ka)b = 1

显然这样等式一定成立并且不会错过任何x值。

最后附上代码

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 long long x,y;
 4 void exgcd(long long a,long long b)
 5 {
 6     if(b==0)
 7     {
 8         x=1;
 9         y=0;
10         return;
11     }
12     exgcd(b,a%b);
13     long long x1=x,y1=y;
14     x=y1;
15     y=x1-y1*(a/b);
16 }
17 int main()
18 {
19     long long a,b;
20     scanf("%lld%lld",&a,&b);
21     exgcd(a,b);
22     if(x<0)
23     {
24         while(x<0)
25         {
26             x+=b;
27         }
28     }
29     else
30     {
31         while(x>0)
32         {
33             x-=b;
34         }
35         x+=b;
36     }
37     printf("%lld",x);
38     return 0;
39 }