过桥问题

Posted 2021-01-27 loganlzj

题目：在一个夜黑风高的晚上，有n（n <= 50）个小朋友在桥的这边，现在他们需要过桥，但是由于桥很窄，每次只允许不大于两人通过，他们只有一个手电筒，所以每次过桥的两个人需要把手电筒带回来，i号小朋友过桥的时间为T[i]，两个人过桥的总时间为二者中时间长者。问所有小朋友过桥的总时间最短是多少。

输入：

两行数据：第一行为小朋友个数n

                   第二行有n个数，用空格隔开，分别是每个小朋友过桥的时间。

输出：

一行数据：所有小朋友过桥花费的最少时间。

 

样例：

输入

4

1 2  5 10

输出

17

分析：

动态规划的线性模型

假设r[n]存储第i个人的速度(0~n-1)

分析可知有一些人要充当“跑腿”的作用，而“跑腿”又是在已经到对岸的人中选择，因此直觉上应该让速度快的人先过桥，于是我们将所有人的速度升序排序，依次考虑。

1.假设现在河两边各有一群人，到了送第i个人过河的阶段了，手电筒在对岸，我们需要选择“跑腿”，选择速度最快的人，这一定是最优决策，因此让r[0]回来。

2.此时河这边有r[0],r[i]~r[n-1]，但此时让r[0]陪同r[i]过桥就不一定是最优决策了，因为r[i]与r[0]是否实力相差过于悬殊？r[0]会被拖累。

另一种策略是让r[i]和r[i+1]一起过桥，之后再由对岸选择一个“跑腿”（即r[1]，此时他最快），然后由r[1]回来，r[1]和r[0]再一同过桥，这样让两个实力均衡的人一起，不会亏太多。

我们应该在以上两种策略中择优。

状态转移方程dp[i] = min{dp[i-1] + r[0] + r[i] , dp[i-2] + r[0] + r[i] + 2*r[1] }

注意上述决策的基本要求是，河对岸有大于等于两个人。因此要考虑基本情况

初始化dp[1]=r[1];dp[2]=r[2];dp[3]=r[2]+r[1]+r[3];

若输入人数小于等于3，则直接输出。