循环卷积总结

Posted 2021-01-27 newera

一般的线性卷积：

$f[i]=sum_{j=0}^i a[j]*b[i-j]$

如果将$b$数组循环复制得到$b_N$就能得到周期卷积：

$f[i]=sum_{j=0}^{N-1} a[j]*b_N[i-j]$

而一般比较常见的循环卷积其实就是周期卷积的主值序列($[0,N-1]$项)：

$f[i]=sum_{j=0}^{N-1} a[j]*(b[i-j])_N$，其中下标$N$表示其主值序列限定在$[0,N-1]$

计算循环卷积时暴力是$n^2$，先求出两序列的线性卷积再全累加到$[0,N-1]$上就是$nlogn$

 

循环卷积的常见运用：

1、对循环矩阵作乘法时

$[n*n矩阵]*[n行列向量]=[矩阵第一列]igoplus [n行列向量]$，其中$igoplus$表示循环卷积

如果将矩阵第一行循环复制，发现每次就相当于将列向量向上移动一格，是循环卷积的形式

之所以是矩阵第一列是因为想要矩阵第一行$[c_0,c_1,c_2,c_3]$与$[a_0,a_1,a_2,a_3]$的內积是卷积中第一项，

那么就要将$c$转为$[c_0,c_3,c_2,c_1]$（也就是第一列），这样才能保证$f[0]=sum_{j=0}^{N-1} a[j]*(c[0-j])_N$成立！

 

2、计算下标相加取模的贡献式时

对于$a[i]*b[j]->f[(i+j)modN]$这样的贡献式其实$f$就是$a$和$b$的循环卷积

如果用于$dp$并多次转移时，可以使用快速幂优化，原理和矩阵快速幂相同

 

其实上面两种运用是一个意思，可以相互转化，最后都使用循环卷积+快速幂解决