2017级算法模拟上机准备篇(序列DP 进阶_1)

Posted 2021-01-27 visper

进阶版的序列DP 从一道题的优化开始

ModricWang的序列问题

题目描述：给定一个序列，求出这个序列中的最长上升子序列的长度。

这道题的本质还是求解一个最长上升子序列的问题

相对与之前提到过的O（n^2）的算法 我们可以重新整理思路

用O(nlogn)的思路来写，用贪心和二分优化之前的算法

我们设置新的DP数组//dp[i]代表的是当前长度为i的上升子序列的末尾元素的大小

状态转移方程为如果dp[len] < ar[i] 那么就将数ar[i]加到dp数组尾部。

反之，说明可以继续优化，显然尾部的元素越小优化的空间就越大，我们利用下界二分查找来进行优化。

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    const int maxlen = 1e6;
    int ar[maxlen];
    int dp[maxlen];
    int main(int argc, char *argv[]) {
        int n,i,j,k,len,pos;
        scanf("%d",&n);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&ar[i]);
        len=1;
        dp[1]=ar[1];
         for(i=2;i<=n;i++){
            if(ar[i] > dp[len])
                dp[++len]=ar[i];
                else {
                    pos=lower_bound(dp,dp+len,ar[i])-dp;
                    dp[pos]=ar[i];
                }
        }
        printf("%d
",len);
        return 0;
    }

ModricWang的序列问题II

题面描述：给定一个序列，求出这个序列中的最长上升子序列的长度，且生成的序列中相邻元素的间隔都是不小于T。

 这道题在原有题目的基础上增加了长度的限制。

大体解题过程与上一题相同。区别在于对f[]f[] 的操作。没有长度限制的时候，f[]f[] 的更新策略是立即更新。假设间隔为TT，现在由于需要考虑间隔，那么在处理第ii 个元素的时候，就需要看到 前i?Ti?T 个元素生成的f[]f[] ，而不能受到第i?T+1i?T+1 到 i?1i?1 个元素的干扰。因此，考虑如下操作：每次准备更新f[]f[] 时，先不要更新，记录下操作的内容，过TT 步再进行操作，这样就可以让f[]f[] 不再显示当前元素之前TT 步的修改内容，每次更新都不受前TT 步的影响，因此生成的序列中相邻元素的间隔都是不小于TT 的。

详细题解：https://www.cnblogs.com/AlvinZH/p/7978029.html

AlvinZH的最“长”公共子序列

题目描述：给定两个序列，求最少的修改（增加，删除，替换）数，使的两个修改一致。（著名的“编辑距离”问题）

 

dp[i][j] :记录A的前i个字符与B的前j个字符变成相同需要的最小操作数。

初始化：dp[i][0] = i, dp[0][i] = i。分别代表i次删除or添加操作。

三种操作得到dp[i][j]，取其中最小值:

• 替换：可能不需要替换，所以是dp[i-1][j-1]+Same(A[i-1],B[j-1])；
• 删除：dp[i-1][j]+1；
• 添加：dp[i][j-1]+1。

千万不要纠结操作的序列是A还是B！

初始化：

            for (int i = 0; i <= lenA; ++i)
                dp[i][0] = i;//i次删除操作
            for (int i = 0; i <= lenB; ++i)
                dp[0][i] = i;//i次添加操作

状态转移方程：

            for (int i = 1; i <= lenA; ++i) {
                for (int j = 1; j <= lenB; ++j) {
                    dp[i][j] = MIN(dp[i-1][j-1]+Same(A[i-1],B[j-1]), dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1);
                    //MIN(替换, 删除, 添加)
                }
            }