51Nod 1684 子集价值 （平方和去括号技巧）

Posted 2020-10-24 theroadtothegold

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1684

 

题意：

新建一个位运算，求所有子集通过这个位运算后的答案的平方和是多少。

 

先想弱化版：

新建一个位运算，求所有子集通过这个位运算后的答案的和是多少。

枚举每一个二进制位，看有多少个子集能够使这一位为1

dp[i]表示前i个数中，能使枚举的这一位为1的方案数

根据第i个数选或者是不选转移

ans= Σ  2^j * 第j位的dp[n] 

 

这里是平方和

设一个子集位运算后的结果为x，它对答案的贡献为x^2

把x按二进制拆为p位，即（x0+x1+x2+x_p-1）

其中xi表示2^i

那它对答案的贡献为 （x0+x1+x2+x_p-1）^ 2

去括号就是  x0*x0+x0*x1+……+x0*x_p-1+……+ x_p-1 * x0+x_p-1 * x1+…… x_p-1 * x_p-1

即 Σ Σ xi*xj    i，j ∈[0,p)

 每一项至于两位有关

所以枚举任意两位a，b

dp[i][0/1][0/1]表示前i个数，第a位为0/1，第b位为0/1的方案数

ans= Σ Σ 2^(i+j) * 枚举的两位为i和j时的dp[n][1][1]

 

即dp求的是表达式中每一项的系数

 

#include<cstdio>
#include<cstring> 
#include<iostream>
using namespace std;

#define N 50001

const int mod=1e9+7;

int n,p; 
int to[2][2];
int b[N];

int dp[N][2][2];

void read(int &x)
{
    x=0; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-‘0‘; c=getchar(); }
}     

int get(int p,int q)
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    bool pp,qq;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        pp=b[i]>>p&1;
        qq=b[i]>>q&1;
        dp[i][pp][qq]++;
        dp[i][pp][qq]-=dp[i][pp][qq]>=mod ? mod : 0;
        for(int j=0;j<2;++j)
            for(int k=0;k<2;++k)
            {
                dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k];
                dp[i][j][k]-=dp[i][j][k]>=mod ? mod : 0;
                dp[i][to[j][pp]][to[k][qq]]+=dp[i-1][j][k]; 
                dp[i][to[j][pp]][to[k][qq]]-=dp[i][to[j][pp]][to[k][qq]]>=mod ? mod : 0;
            }
    }
    return dp[n][1][1];
}

int main()
{
    read(n); read(p);
    for(int i=0;i<2;++i)
        for(int j=0;j<2;++j)
             read(to[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;++i) read(b[i]);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<p;++i)
        for(int j=0;j<p;++j)
        {
            ans+=(1LL<<i+j)%mod*(long long)get(i,j)%mod;
            ans-=ans>=mod ? mod : 0;
        }
    cout<<ans;
} 

 

1684 子集价值 

基准时间限制：5 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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lyk最近在研究位运算。

它发现除了xor,or,and外还有很多运算。

它新定义了一种运算符“#”。

具体地，可以由4个参数来表示。

 ai,j表示

ｉ＃ｊ。

其中i,j与a的值均∈[0,1]。

当然问题可以扩展为>1的情况，具体地，可以将两个数分解为p位，然后对于每一位执行上述的位运算，再将这个二进制串转化为十进制就可以了。

例如当 a0,0=a1,1=0,a0,1=a1,0=1时,3#4在p=3时等于7,2#3在p=4时等于1（实际上就是异或运算）。

现在lyk想知道的是，已知一个数列b。

它任意选取一个序列c，满足 c1<c2<...<ck，其中1≤c1且ck≤n ，这个序列的价值为 bc1 # bc2 #...# bck 的平方。

这里我们假设k是正整数，因此满足条件的c的序列一定是 2n−1 。lyk想知道所有满足条件的序列的价值总和是多少。

例如样例中，7个子集的价值分别为1,1,4,4,9,9,0。总和为28。

由于答案可能很大，只需对1,000,000,007取模即可。

 

Input

第一行两个整数n(1<=n<=50000),p(1<=p<=30)。
第二行4个数表示a0,0，a0,1，a1,0，a1,1。(这4个数都∈{0,1})
第三行n个数bi(0<=bi<2^p)。

Output

一行表示答案。

Input示例

3 30
0 1 1 0
1 2 3

Output示例

28