回到原点 重新感受01背包的魅力 ZerOnePack

Posted 2021-01-26 visper

　　01背包问题是很经典的动态规划问题，给定总容量T，物品的件数。然后给定数组weight[k] value[k]来求解背包装上物品所带来的最大收益。

　　最开始的时候是设置二维DP数组来求解问题 我们不妨设数组DP[i][j]来表示的是前i件物品在容量为j的情况下所取得的最大收益值，当我们设置好一个DP数组的时候，在思考状态转移方程的时候，可以假设前一状态的方程已经得到了解决，这样的话我们可以很方便的得到01背包的状态转移方程。

　　dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);

　　进一步的时候，我们可以考虑空间优化的问题 也就是ACM选手所说的利用滚动数组来实现空间优化，我们很容易发现，在考虑状态转移方程的时候，我们只考虑相邻的层次之间的状态转移。那么我们可以考虑来用一维的数组来代替二维数组，但要改变内层的循环顺序，来考虑覆盖的前后次序。

　　另一方面，我们可以考虑初始化的问题。即初始情况下下的dp数组的每个元素的值，在考虑初始化情况下，我们有两种方法，第一种是考虑第一维的情况，即在脑海里模拟一下，我们可以相想到是dp[i]=0的情况，另一方面，背包问题还有个有趣的设置是必须要求背包装满的情况，在一般的情况下，我们或许没有严格要求背包装满，比如当一个容量背包为100，而第一件物品的重量只有10的时候，我们会发现常规方法是使的10-99所有的值都设置为第一件物品的值。所以我们可以在初始化的条件下，设置dp[0]=0,而其他的dp[i]=-INF;来保证最后求得的值是背包装满的值。这样的话 如果dp【i】<0说明无法装满背包。

 1 #include <algorithm>
 2 #include <iostream>
 3 #include <string.h>
 4 #include <cmath>
 5 using namespace std;
 6 const int Maxlen = 1e5;
 7 int main(){
 8     
 9     //实现01背包 问题 ZerOnePack
10     int t,k,i,j,x;
11     int value[Maxlen],weight[Maxlen],dp[Maxlen];
12     //dp[i][j]本质上是前i件物品在容量为j的时候的最大值
13     //最后用一维数组来实现本质上还是利用了滚动优化 数组内存的思想
14     while(~scanf("%d %d",&t,&k)){
15         for(i=1;i<=k;i++)
16             scanf("%d %d",&value[i],&weight[i]);
17             memset(dp,0,sizeof(dp));
18         for(i=1;i<=k;i++){
19 
20             for(j=t;j>=weight[i];j--){
21                 dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]] + value[i]);
22             }
23 //            for(x=1;x<=t;x++)
24 //                printf("%d ",dp[x]);
25 //            printf("
");
26         }
27         printf("%d
",dp[t]);
28     }
29     
30     
31     
32     return 0;
33 }