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Posted 2021-01-26 ah2002

矩阵快速幂+扩展欧拉定理

对于一个矩阵(A)，我们有(A^n equiv A^{n\% phi(m)+phi(m)}(\%m))

经过简单的列举或推导可得

设目前进行了(x)轮，(f(x))为分子，(g(x))为分母

则有(f(x)=g(x-1)-f(x-1),g(x)=2g(x-1))

由此及首项可得(x>1)时概率的分子一直是奇数，分母一直为2的幂

而(x=1)时分子为0，分母为1

即分子与分母恒互质

由此可得转移矩阵

[A=egin{bmatrix} -1 & 1 \ 0 & 2 end{bmatrix}]

初始矩阵

[B=egin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix}]

设

(A^{n-1} imes B=egin{bmatrix} p \ q end{bmatrix})

则p/q为所求

该算法时间复杂度为(Theta(k))，是本题的理论时间复杂度下限。

#include"cstdio"
#include"cstring"
#include"iostream"
#include"algorithm"
using namespace std;

const int MOD=1e9+7;
const int siz=5;

int n;
long long v=1;
struct Matrix{
    long long v[siz][siz];
    int x,y;

    void clear(){memset(v,0,sizeof(v));x=y=0;}
    void Mmul(Matrix a,Matrix b)
    {
        clear();
        x=a.x,y=b.y;int c=a.y;
        for(int i=1;i<=x;++i){
            for(int j=1;j<=y;++j){
                for(int k=1;k<=c;++k){
                    v[i][j]+=a.v[i][k]*b.v[k][j]%MOD;
                    v[i][j]=(v[i][j]%MOD+MOD)%MOD;
                }
            }
        }return;
    }

    Matrix Mpw(Matrix a,long long b)
    {
        Matrix x;x.clear();x.x=x.y=a.x;
        for(int i=1;i<=a.x;++i) x.v[i][i]=1;
        while(b){
            if(b&1) x.Mmul(x,a);
            b>>=1;a.Mmul(a,a);
        }return x;
    }
    
    void write()
    {
        for(int i=1;i<=x;++i){
            for(int j=1;j<=y;++j){
                printf("%lld ",v[i][j]);
            }puts("");
        }puts("");
        return;
    }
}A,B;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){long long x;scanf("%lld",&x);v=(x%(MOD-1)*v)%(MOD-1);}
    v+=MOD-1;
    A.x=A.y=2;B.x=2,B.y=1;
    A.v[1][1]=-1,A.v[1][2]=1,A.v[2][2]=2;
    B.v[2][1]=1;
    A=A.Mpw(A,v-1);B.Mmul(A,B);
    printf("%lld/%lld
",B.v[1][1],B.v[2][1]);
    return 0;
}