数学第二课

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数学第二课相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

几个符号的认识:

  • 或      |   ,   c=a|b,二进制下c的第i位为1,当且当a和b的第i位不同时为0,即至少有一个1。
  • 异或  ^   ,   c=a^b,二进制下c的第i位为1,当且当a和b的第i位不相同。
  • 且     &   ,   c=a|b,二进制下c的第i位为1,当且当a和b的第i位同时为1。

性质:

  • ‘或’具有扩散性,即一个数列,‘或’的个数越多,结果越大。
  • ‘且’具有收敛性,个数越多,结果越小。

例题: Interview ,CodeForces - 631A

题意:给出两个长度都为N的数组a[] ,b[],(N<=1000),让你求最大的F(L,R);F(L,R)=a[L]|a[L+1]|....a[R]+b[L]|b[L+1]|....|b[R],即两个区间对应的或运算之和。

思路:数据比较小,那么我们预处理区间或运算结果,复杂度为O(N^2),然后枚举每个区间,更新答案即可。

如果N<=1e6呢?  我们需要O(N)去做。显然答案是F(1,N),因为或运算的扩散性!

(引申一下,gcd具有收敛性!

 

上面与这节课无关,正课:

 

1,欧拉函数:

什么是欧拉函数:

 

 

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如何求欧拉函数:

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欧拉函数的公式:

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 由上面的公式,联系之前学过的欧拉素数筛法,我们可以O(N)的求出[1,N]的欧拉函数。

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欧拉函数的应用:

1,求逆元。

2,欧拉降幂。

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我们知道a^x%p,可以用快速幂来求,复杂度为O(logx),但是有的时候x过大,这个复杂度也应付不了。久可以用上面的公式,把x减小,再快速幂。

 

3,累加。有的时候我们可以把一个问题转化为求与x互质的个数有多少,这样就可以用欧拉函数,效率提高。

例题:Visible Lattice Points POJ - 3090

题意:给定如果N*N的网格,问在(0,0)可以看到多少个点。N<=1000;

思路:单独考虑(0,0) (0,1) (1,0);  其他点为(x,y),这些点一定满足gcd(x,y)==1;比如(4,2)不能被看到,因为它被(2,1)挡住了。

那么我们考虑x>y,那么x一定时,y的个数就是phi[x],此时贡献为phi[1]+phi[2]+...phi[N]。

那么答案就是3+(phi[1]+phi[2]+...phi[N])*2;  我们预处理出phi的前缀和即可。

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2,数学期望

通俗地理解,数学期望就是概率。

这类问题的形式一般如下:

  • 给定骰(tou)子,问第一次x正面朝上的期望的多少。
  • 给定地图,问玩家从a点到b点的期望的多少。

此类题大部分都是列方程,然后递推。

例题:Coupons UVA - 10288

题意:有N种硬币,给次得到每种硬币的概率相同,问得到N种硬币的期望的多少。

思路:我们用dp[x]表示已经得到了x种硬币的前提下,得到N种硬币的期望。

那么 dp[N]=0;

        dp[x]=dp[x+1]*(1-1/x)+dp[x]*1/x; (x<N)

化简就是dp[x]=(N-x)/N,最后得到dp[0]=N*(1/1+1/2+1/3...+1/N);

更多的数学期望题目可以点击:https://www.cnblogs.com/hua-dong/p/8166093.html

 

3:博弈

这类题型往往是如下形式:

  • 给出一种规则,玩家A和玩家B都用最优的策略,问玩家A是否必胜。
  • 如果玩家A必胜,第一步应该怎么玩。

....

最简单的巴什博奕(Bash Game):

只有一堆N个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规 定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。

当N%(m+1)==0时先手必败,其他情况下必胜。

我们可以类推,N=[1,M]必胜,  N=M+1,先手怎么取都去不完,而对方可以去完,先手必输。

                         N>M+1时,如果N%(M+1)!=0,那么先手取x,使得(N-x)%(M+!)==0即可保证先手能走到M+1这一步,保证了必胜。

例题:hdu2897

更多博弈可以看:https://www.cnblogs.com/hua-dong/p/8397622.html

 

以上是关于数学第二课的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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