贝叶斯网络

Posted 2021-01-25 yongfuxue

把某个研究系统中涉及的随机变量，根据是否条件独立绘制在一个有向图中，就形成了贝叶斯网络。

 

贝叶斯网络(Bayesian Network)，又称有向无环图模型(directed acyclic graphical model ,DAG)，是一种概率图模型，根据概率图的拓扑结构，考察一组随机变量{X 1 ,X 2 ...X n }及其n组条件概率分布(Conditional Probability Distributions, CPD)的性质。

 

 

一般而言，贝叶斯网络的有向无环图中的节点表示随机变量，它们可以是可观察到的变量，或隐变量、未知参数等。连接两个节点的箭头代表此两个随机变量是具有因果关系(或非条件独立)。若两个节点间以一个单箭头连接在一起，表示其中一个节点是“因(parents)”，另一个是“果(children)”，两节点就会产生一个条件概率值。

 

x1和x2独立，x6和x7在x4给定的条件下独立

x1,x2,…x7的联合分布图如下：

 

 

 

x1,x2,…x7的联合分布：

 

判断条件独立

1、通过贝叶斯网络判定条件独立

tail-to-tail

在c给定的条件下，a，b被阻断(blocked)是独立的

 

 

 

head-to-tail

在c给定的条件下，a，b被阻断(blocked)，是独立的

 

 

 

head-to-head

在c未知的条件下，a，b被阻断(blocked)，是独立的

 

 

2、将上述结点推广到结点集

D-separation：有向分离

对于任意的结点集A，B，C，考察所有通过A中任意结点到B中任意结点的路径，若要求A，B条件独

立，则需要所有的路径都被阻断(blocked)，即满足下列两个前提之一：

1）A和B的“head-to-tail型”和“tail-to-tail型”路径都通过C；

2）A和B的“head-to-head型”路径不通过C以及C的子孙；

 

如果A,B不满足D-separation，A,B有时被称为D-connected.

链式网络

 

 

由D-separation可知，在xi给定的条件下，xi+1的分布和x1,x2…xi-1条件独立。即：xi+1的分布状态只和xi有关，和其他变量条件独立，这种顺次演变的随机过程模型，叫做马尔科夫模型。

Markov Blanket

一个结点的Markov Blanket是一个集合，在这个集合中的结点都给定的条件下，该结点条件独立于其他所有结点。

即：一个结点的Markov Blanket是它的parents,children以及spouses(孩子的其他parent)

 

 

贝叶斯网络的用途

诊断：P(病因|症状)

预测：P(症状|病因)

分类：max class P(类别|数据)

通过给定的样本数据，建立贝叶斯网络的拓扑结构和结点的条件概率分布参数。这往往需要借助先验知识和极大似然估计来完成。

在贝叶斯网络确定的结点拓扑结构和条件概率分布的前提下，可以使用该网络，对未知数据计算条件概率或后验概率，从而达到诊断、预测或者分类的目的。

 

贝叶斯网络的推导

 

 

 

贝叶斯网络的构建

依次计算每个变量的D-separation的局部测试结果，综合每个结点得到贝叶斯网络。

 

算法过程：

选择变量的一个合理顺序：X 1 ,X 2 ,...X n

对于i=1到n

在网络中添加X i 结点

在X 1 ,X 2 ,...X i-1 中选择X i 的父母，使得：

 

 

这种构造方法，显然保证了全局的语义要求：

 

 

 

举例说明：M, J, A,B,E

需要判断如下是否相等：

P(J|M) = P(J)

P(A|M,J) = P(A|M), P(A|M,J) = P(A|J), P(A|M,J) = P(A)

P(B|M,J,A) = P(B|M), P(B|M,J,A) = P(B|J), P(B|M,J,A) = P(B|A),…….

 

Tip:

先判断一个节点是否没有父节点，再判断节点只有一个父节点，再判断有两个父节点，第一次遇到等式成立，便可以确定节点的父节点，最多次判断的情况是前面的节点都是他的父节点。

压缩条件分布参数数目

Noisy-OR分布模型

节点U 1 ,U 2 ,...U k 是X的所有父节点；

有如下等式：

 

该模型的参数是关于父节点个数线性的。

 

举例：

 

 

该模型参数只需要3个参数即可表示所有的状态。这里是0.1, 0.2, 0.3

混合(离散+连续)网络

 

 

 

subsidy,buys均是离散的，harvest，cost均是连续的

需要定义一个条件概率密度函数，使用线性高斯模型：

 

 

cost随着harvest线性变化，方差不变

 

条件概率密度函数，也可使用sigmod函数

 

 

原贝叶斯网络的近似树结构

最大权生成树MSWT的建立过程

1.对于给定的分布P(x)，对于所有的i≠j，计算联合分布P(xi|xj)；

2.使用第1步得到的概率分布，计算任意两个结点的互信息I(Xi,Yj)，并把I(Xi,Yj)作为这两个结点连接边的权值；

3.计算最大权生成树(Maximum-weight spanning tree)

a. 初始状态：n个变量(结点)，0条边

b. 插入最大权重的边

c. 找到下一个最大的边，并且加入到树中；要求加入后，没有环生成。否则，查找次大的边；

d. 重复上述过程c过程直到插入了n-1条边(树建立完成)

4.选择任意结点作为根，从根到叶子标识边的方向；

5.可以保证，这课树的近似联合概率P‘(x)和原贝叶斯网络的联合概率P(x)的相对熵最小。

 

两个结点间的互信息的计算公式：