离散哈特莱变换(DHT)及快速哈特莱变换(FHT)学习

Posted 2021-01-25 rrrr-wys

离散哈特莱变换(DHT)及快速哈特莱变换(FHT)学习

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说在前边

最近复习(DSP)的时候，发现了一个号称专门针对离散实序列的变换，经分析总运算量为普通(FFT)的几乎一半，而且完全没有复数。这么强的吗？于是花了一个下午，去学习了一下。中文资料少的可怜。。。于是去读书馆翻了几乎所有的(dsp)课本。。。发现了这本书 西安电子科技大学出版社《数字信号处理》第二版！竟然花了一节在讲(DHT)和(FHT)！竟然还有附录FORTRAN代码（虽然一堆错）！这里把这个东西稍微普及一下。。。不过估计没人用的上

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离散哈特莱变换(DHT)

引入

对于序列(x(n))其(N)点(DFT)具有简单的共轭对称性，即[X(N - k) = X^*(k), k = 0, 1 ... ,N-1 ]
所以只要计算(X(k))的前(N/2)个值，则后(N/2)可以通过((1))求得，(X(k))的(N/2)个复数正好对应(N)个实数数据((N)点实序列(DFT)，也可以通过把(N)个实数，压成(N/2)个复数，再利用共轭对称性求解，这里不做详解)。由此可见，一个(N)点实序列的(DFT)，完全可由(N)个实数数据确定。由此，我们引出一种直接对于实序列进行实数域变换的离散哈特莱变换((DHT))。(DHT)将(x(n))看成实数数据，而不是像(DFT)一样看作虚部为(0)的复数，因此节省了一半的空间，运算效率也提升了近一倍，且(DFT)与(DHT)之间存在简单的关系，容易实现相互转换。

预备知识

1. (DFT)的意义
2. (FFT)实现
3. 最好学过(DSP)

定义

设(x(n), n = 0, 1,..., N-1)，为一实序列，其(DHT)定义为
[ X_H(k) = DHT[ x(n)] = sum _{n=0}^{N-1} x(n)cas(frac{2pi}{N}kn), k = 0,1, ... , N-1 ]
式中(cas(a) = cos(a) + sin(a))逆变换((IDHT))为
[ x(n) = DHT[ X_H(k)] = frac{1}{N}sum _{n=0}^{N-1} X(k)cas(frac{2pi}{N}kn), n = 0,1, ... , N-1 ]
(DHT)的正交证明：

[ sum_{k=0}^{N-1} cas(frac{2pi}{N}kn)cas(frac{2pi}{N}km) = sum_{k=0}^{N-1}[cos(frac{2pi}{N}k(n-m)) + sin(frac{2pi}{N}k(n+m))] = left{egin{array}{cc} N, & k = 0\ 0, & k eq 0 end{array} ight. ]

DHT与DFT的个关系

用(X(k))表示实序列(x(n))的(DFT)，用(X_H(k))表示(x(n))的(DHT)，分别用(X_{He}(k))， (X_{Ho}(k))表示(X_H(k))的偶对称分量与奇对称分量，即
[ X_H(k) = X_{He}(k) + X_{Ho}(k) ]

其中

[ X_{He}(k) = frac{1}{2}[X_H(k) + X_H(N-k)]X_{Ho}(k) = frac{1}{2}[X_H(k) - X_H(N-k)]X(k) = X_{He}(k) - jX_{Ho}(k) X_H(k) = Re[X(k)] - Im[X(k)]X(k) = frac{1}{2}[X_H(k)+X_H(N-k)] - frac{1}{2}j[X_H(k)-X_H(N-k)] ]

利用上面这些性质，我们可以很容易的将(DFT)与(DHT)进行变换，并且又因为这个原因(X_H(k))的周期为(N)(隐含周期性)。

DHT的优点

1. (DHT)为实值，避免了复数运算
2. (DHT)正反变换形式基本一致
3. (DHT)与(DFT)的转换容易实现

DFT的性质

1. 线性性
2. (DHT)不改变(x(n))奇偶性
3. 循环卷积定理

若(x_1(n) leftrightarrow X_{1H}(k), ~~x_2(n) leftrightarrow X_{2H}(k))则
[ x_1(n) otimes x_2(n) leftrightarrow X_{2H}(k)X_{1He}(k) + X_{2H}(N-k)X_{1Ho}(k) ]
或
[ x_1(n) otimes x_1(n) leftrightarrow X_{1H}(k)X_{2He}(k) + X_{1H}(N-k)X_{2Ho}(k) ]

值得注意的是，相比于(DFT)的卷积定理，(DHT)的运算更加复杂，这一点把这个算法的在竞赛中的实用性大大降低了。。。毕竟我就是为了加速卷积，不过他空间上的优势还是很名明显的。

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快速哈特莱变换(FHT)

基2 DIT-FHT算法

与(FFT)算法一样，(FHT)也可以，用基(4),基(8)，分裂基等方式优化，这里我们讨论最基础的基(2) 快速(DHT)算法。
(x(n))的(N=2^M)点(DHT)：
[ X_H(k) = sum_{n=0}^{N-1}x(n)cas(frac{2pi}{N}kn) ]
对(x(n))进行奇偶抽取
[ x_0(r) = x(2r)\ x_1(r) = x(2r+1) ]
带入后，与(DFT)比较可得，(cas(frac{2pi}{N}k(2r+1)))不是指数函数，所以我们通过
[ cas(a + b) = cas(a)cas(b) + cas(-a)sin(b) ]
推导可得：
[ X_H(k) = sum_{r=0}^{frac{N}{2}-1} x_0(r)cas(frac{2pi}{N/2}rk) + cos(frac{2pi}{N}k)sum_{r=0}^{frac{N}{2}-1}x_1(r)cas(frac{N}{2}rk) + sin(frac{2pi}{N}k)sum_{r=0}^{frac{N}{2}-1}x_1(r)cas(-frac{2pi}{N/2}rk) ]
令(X_{0H}(k) = DHT[x_0(n)])，(X_{1H}(k) = DHT[x_1(n)])，可以写成：
[ X_H(k) = X_{0H}(k) + cos(frac{2pi}{N}k)X_{1H}(k)+sin(frac{2pi}{N}k)X_{1H}(frac{N}{2}-1) ]

相比于(DIT-DFT)该式中，多了一项(X_{1H}(frac{N}{2}-k))。所以可用(X_{0H}(k)),(X_{1H}(k)),(H_{0H}(frac{N}{2}-k)),(H_{0H}(frac{N}{2}+k))四个点同址计算出(X_{H}(k)),(X_{H}(frac{N}{2}+k)),(H_{H}(frac{N}{2}-k)),(H_{H}(N-k))，与(FFT)中的蝶形运算类似，我们叫这种运算“哈特莱蝶形”

令(C(k)=cos(frac{2pi}{N}k)),(S(k)=sin(frac{2pi}{N}k)),当(N geq 8)时，有
[ X_H(k) = X_{0H}(k) + [C(k)X_{1H}(k)+S(k)X_{1H}(frac{N}{2}-k)]X_H(frac{N}{2}+k) = X_{0H}(k) - [C(k)X_{1H}(k)+S(k)X_{1H}(frac{N}{2}-k)]X_H(frac{N}{2}-k) = X_{0H}(frac{N}{2}-k) - [S(k)X_{1H}(k)-C(k)X_{1H}(frac{N}{2}-k)]X_H(N-k) = X_{0H}(frac{N}{2}-k) - [S(k)X_{1H}(k)-C(k)X_{1H}(frac{N}{2}-k)] ]

基2 DIT-FHT的运算量

(N = 2^M)
乘法次数：(NM - 3N + 4)
加法次数：(A_H = frac{3}{2}NM - frac{3}{2}N + 2)

应用

利用(FHT)以及循环卷积定理，与DFT类似，我们就可以通过循换卷积来求出两个实序列的线性卷积。

代码 [UR#34]多项式乘法

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define DXT(X,Y) ( XT = (X) , X = ((XT) + (Y)) , Y = ((XT) - (Y)) )
const double PI = 3.141592653589793238;
using namespace std;

int K , N1 , N2 , N4 , L1 , L2 , L3 , L4;
double XT , A , E , K2 , CC1 , SS1 , T1 , T2 , e , o, a[2000001] , b[2000001] , c[2000001];
int n , m , rev[2000001];

void FHT( double X[] , int N , int M , int f ) {
    for(int i = 0 ; i < N ; ++i) if(i < rev[i]) {
        XT = X[i] , X[i] = X[rev[i]] , X[rev[i]] = XT;
    }
    for(int i = 0 ; i < N ; i += 2) DXT(X[i] , X[i+1]);
    N2 = 1;
    for(int k = 1 ; k < M ; ++k) {
        N4 = N2 , N2 = N4 + N4 , N1 = N2 + N2;
        E = PI * 2.0 / N1;
        for(int j = 0 ; j < N ; j += N1) {
            L2 = j + N2 , L3 = j + N4 , L4 = L2 + N4;
            DXT(X[j] , X[L2]) , DXT(X[L3] , X[L4]);
            A = E;
            for(int i = 1 ; i < N4 ; ++i , A += E) {
                L1 = j + i , L2 = j - i + N2;
                L3 = L1 + N2 , L4 = L2 + N2;
                CC1 = cos(A), SS1 = sin(A);
                T1 = X[L3] * CC1 + X[L4] * SS1;
                T2 = X[L3] * SS1 - X[L4] * CC1;
                XT = X[L1] , X[L1] = XT + T1 , X[L3] = XT - T1;
                XT = X[L2] , X[L2] = XT + T2 , X[L4] = XT - T2;
            }
        }
    }
    if(f == -1) {
        for(int i = 0 ; i < N ; ++i) X[i] /= N;
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d" , &n , &m);
    for(int x , i = 0 ; i <= n ; ++i) scanf("%d" , &x) , a[i] = (double)x;
    for(int x , i = 0 ; i <= m ; ++i) scanf("%d" , &x) , b[i] = (double)x;
    int nn = n + m + 1 , L;
    int tmp; L = 0;
    for(tmp = 1 ; tmp < nn ; tmp <<= 1, ++L) ; nn = tmp;
    for(int i = 0 ; i < nn ; ++i)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >>1 ) | ((i & 1) << (L - 1));
    FHT(a , nn , L , 1), FHT(b , nn , L , 1);
    for(int i = 0; i < nn; ++i) {
        e = i > 0 ? (a[i] + a[(nn - i)]) * 0.5 : a[0];
        o = i > 0 ? (a[i] - a[(nn - i)]) * 0.5 : 0.0;
        c[i] = b[i] * e + b[i == 0 ? 0 : (nn - i)] * o;
    }
    FHT(c  , nn , L , -1);
    for(int i = 0; i <= n+m; ++i) printf("%d ",(int)(c[i]+0.5));
    return 0;
}

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这份代码比我想像的要慢好多，主要原因还是循环卷积定理里面运算的增多，另一个原因是我不会卡常...但是内存上看起来还是比较优秀的，拜托善于优化的同学优化一下，或者有更好的实现的话，也请告诉我。。。不过看起来还是没人会用啊。。。fft的历史地位还是很难被替代的吧。。。改日会补上信号流图。掰掰