糖果传递（基于贪心的数学问题）

Posted 2021-01-25 719666a

0807 糖果传递 0x08「基本算法」练习

描述

有n个小朋友坐成一圈，每人有a[i]个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。求使所有人获得均等糖果的最小代价。

输入格式

第一行一个正整数n<=1000000，表示小朋友的个数。接下来n行，每行一个整数a[i]，表示第i个小朋友初始得到的糖果的颗数．

输出格式

一个整数，表示答案。

样例输入

4
1
2
5
4

样例输出

4

来源

NOI2008河南省选

解析：

　　首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

　　假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

　　对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

　　同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

　　尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

　　对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave  ->  X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）

　　对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave  ->  X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

　　对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave  ->  X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

　　……

　　对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。

　　我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1500000],ave;
long long c[1850000],tot;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        tot+=a[i];
    }
    ave=tot/n;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
        c[i]=c[i-1]+a[i]-ave;
        
    sort(c,c+n);
    int mid=(n-1)/2;
    long long ans=0;
    for(int i=0;i<=mid;++i)
        ans+=c[n-i-1]-c[i];

    printf("%lld",ans);
}