树及其衍生算法（Trees and tree algorithms）

Posted 2021-01-25 silence-cho

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了树及其衍生算法（Trees and tree algorithms）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1，二叉树（Binary tree）

　　　　二叉树：每一个节点最多两个子节点，如下图所示：

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　　　　相关概念：节点Node，路径path，根节点root，边edge，子节点 children，父节点parent，兄弟节点sibling, 子树subtree，叶子节点leaf node, 度level,树高hight

节点Node：
路径path：从一个节点到拧一个节点间的边
根节点root，
边edge：节点间的连线
子节点 children，
父节点parent，
兄弟节点sibling, 
子树subtree，
叶子节点leaf node, 
度level：从当前节点到根节点的路径中边的数量
高度 hight：树中所有节点的最大level

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　　　　二叉树可以通过多级列表的形式实现,多级列表形式如下，根节点r，有两个子节点a , b，且a, b节点没有子节点。

　　　　　　　　　　　mytree =[ r,

　　　　　　　　　　　　　　　　[ a, [ ], [ ] ], [ b, [ ], [ ] ]

　　　　　　　　　　　　　　　 ]

　　　　python实现代码如下：

#coding:utf-8


#多级列表实现
def binaryTree(r):
    return [r,[],[]]  #root[]为根节点,root[1]左子树,root[2]右子树

def insertLeftTree(root,newbranch):
    t = root.pop(1)
    if len(t)>1:
        root.insert(1, [newbranch, t, []])
    else:
        root.insert(1,[newbranch, [], []])
    return root

def insertRightTree(root,newbranch):
    t = root.pop(2)
    if len(t)>1:
        root.insert(2, [newbranch, [], t])
    else:
        root.insert(2,[newbranch, [], []])
    return root
def getRootVal(root):
    return root[0]

def setRootVal(root,val):
    root[0]= val

def getLeftChildren(root):
    return root[1]

def getRightChildren(root):
    return root[2]

r = binaryTree(3)
insertLeftTree(r,4)
insertLeftTree(r,5)
insertRightTree(r,6)
insertRightTree(r,7)
l = getLeftChildren(r)
print(l)

setRootVal(l,9)
print(r)
insertLeftTree(l,11)
print(r)
print(getRightChildren(getRightChildren(r)))

多级列表形式

　　　　二叉树可以通过节点的形式实现，如下所示：

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　　　　python实现代码如下：

class BinaryTree(object):
    def __init__(self,value):
        self.key = value
        self.leftChild = None
        self.rightChild = None

    def insertLeft(self,newNode):
        if self.leftChild != None:
            temp = BinaryTree(newNode)
            temp.leftChild = self.leftChild
            self.leftChild = temp
        else:
            self.leftChild = BinaryTree(newNode)

    def insertRight(self,newNode):
        if self.rightChild != None:
            temp = BinaryTree(newNode)
            temp.rightChild= self.rightChild
            self.rightChild = temp
        else:
            self.rightChild = BinaryTree(newNode)

    def getRootVal(self):
        return self.key

    def setRootVal(self,value):
        self.key = value

    def getLeftChild(self):
        return self.leftChild
    
    def getRightChild(self):
        return self.rightChild

节点形式

2，二叉树的应用

　　2.1 解析树（parse tree）

　　　　解析树常用于表示真实世界的结构表示，如句子和数学表达式。如下图是（（7+3）*（5-2））的解析树表示，根据解析树的层级结构，从下往上计算，能很好的代替括号的表达式中括号的作用

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　　　　将一个全括号数学表达式转化为解析树的过程如下：

　　　　　　遍历表达式：

　　　　　　　　　　1，若碰到“（”，为当前节点插入左节点，并移动到左节点

　　　　　　　　　　2，若碰到 + ,- ,* , /，设置当前节点的值为该符号，并为当前节点插入右节点，并移动到右节点

　　　　　　　　　　3，若碰到数字，设置当前节点的值为该数字，并移动到其父节点

　　　　　　　　　　4，若碰到“）”，移动到当前节点的父节点

　　　　　　python实现代码如下：（Stack 参见数据结构之栈）

from stackDemo import Stack  #参见数据结构之栈

def buildParseTree(expstr):
    explist = expstr.split()
    s = Stack()
    t = BinaryTree(‘‘)
    s.push(t)
    current = t
    for token in explist:
        #token = token.strip()
        if token ==‘(‘:
            current.insertLeft(‘‘)
            s.push(current)
            current = current.getLeftChild()
        elif token in [‘*‘,‘/‘,‘+‘,‘-‘]:
            current.setRootVal(token)
            current.insertRight(‘‘)
            s.push(current)
            current = current.getRightChild()
        elif token not in [‘(‘,‘*‘,‘/‘,‘+‘,‘-‘,‘)‘]:
            current.setRootVal(token)
            current = s.pop()
        elif token==‘)‘:
            current = s.pop()
        else:
            raise ValueError
    return t

t = buildParseTree("( ( 10 + 5 ) * 3 )")

构造解析树

　　　　计算解析树：数学表达式转化为解析树后，可以对其进行计算，python代码如下：　

import operator
def evaluate(parseTree):
    operators={‘+‘:operator.add,‘-‘:operator.sub,‘*‘:operator.mul,‘/‘:operator.div }
    rootval = parseTree.getRootVal()
    left = parseTree.getLeftChild()
    right = parseTree.getRightChild()

    if left and right:
        fn = operators[rootval]
        return fn(evaluate(left),evaluate(right))
    else:
        return parseTree.getRootVal()

计算解析树

　　　　中序遍历解析树，可以将其还原为全括号数学表达式，python代码如下：

#解析树转换为全括号数学表达式
def printexp(tree):
    val = ‘‘
    if tree:
        val = ‘(‘+printexp(tree.getLeftChild())
        val = val +str(tree.getRootVal())
        val = val +printexp(tree.getRightChild())+‘)‘
        if tree.getLeftChild()==None and tree.getRightChild()==None:
            val = val.strip(‘()‘)
    return val

t = buildParseTree("( ( 10 + 5 ) * 3 )")
exp = printexp(t)
print exp

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3，树的遍历

　　　　树的遍历包括前序遍历(preorder)，中序遍历(inorder)和后序遍历(postorder).

　　　　前序遍历：先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树（递归），python代码实现如下：

def preorder(tree):
    if tree:
        print tree.getRootVal()
        preorder(tree.getLeftChild())
        preorder(tree.getRightChild())

#定义在类中的前序遍历
# def preorder(self):
#     print self.key
#     if self.leftChild:
#         self.leftChild.preorder()
#     if self.rightChild:
#         self.rightChild.preorder()

preorder

　　　　中序遍历：先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树（递归），python代码实现如下：

#中序遍历inorder
def inorder(tree):
    if tree:
        preorder(tree.getLeftChild())
        print tree.getRootVal()
        preorder(tree.getRightChild())

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　　　　后续遍历：先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点，python代码实现如下：

def postorder(tree):
    if tree :
        postorder(tree.getLeftChild())
        postorder(tree.getRightChild())
        print(tree.getRootVal())

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4，优先队列和二叉树（priority queue and binary heap）

　　　　优先队列：优先队列和队列类似，enqueue操作能加入元素到队列末尾，dequeue操作能移除队列首位元素，不同的是优先队列的元素具有优先级，首位元素具有最高或最小优先级，因此当进行enqueue操作时，还需要根据元素的优先级将其移动到适合的位置。优先队列一般利用二叉堆来实现，其enqueue和dequeue的复杂度都为O(logn)。（也可以用list来实现，但list的插入复杂度为O(n)，再进行排序的复杂度为O(n logn)）

　　　　二叉堆：二叉堆是一颗完全二叉树，当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆，当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。（完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点；满二叉树：除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值。所有叶子结点必须在同一层上）

　　　　最小堆示例及操作如下：（父节点的值总是小于或等于子节点）

BinaryHeap() #创建空的二叉堆
insert(k)   #插入新元素
findMin()    #返回最小值，不删除
delMin()     #返回最小值，并删除
isEmpty()
size()
buildHeap(list)  #通过list创建二叉堆

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　　　　对于完全二叉树，若根节点的序号为p，则左右节点的序号应该为2p和2p+1，结合上图可以发现，可以用一个队列（首位元素为0）来表示二叉堆的结构。最小堆的python实现代码如下：（heaplist中第一个元素为0，不会用到，只是为了保证二叉堆的序列从1开始，方便进行除和乘2p，2p+1）

#coding:utf-8

class BinaryHeap(object):
    def __init__(self):
        self.heapList=[0]
        self.size = 0

    #将元素加到完全二叉树末尾，然后再根据其大小调整其位置
    def insert(self,k):
        self.heapList.append(k)
        self.size = self.size+1
        self._percUp(self.size)

    # 如果当前节点比父节点小，和父节点交换位置，一直向上重复该过程
    def _percUp(self,size):
        i = size
        while i>0:
            if self.heapList[i]<self.heapList[i//2]:
                temp = self.heapList[i]
                self.heapList[i] = self.heapList[i//2]
                self.heapList[i//2] = temp
            i=i//2

    # 将根元素返回，并将最末尾元素移动到根元素保持完全二叉树结构不变，再根据大小，将新的根元素向下移动到合适的位置
    def delMin(self):
        temp = self.heapList[1]
        self.heapList[1]=self.heapList[self.size]
        self.size = self.size-1
        self.heapList.pop()
        self._percDown(1)
        return temp

    # 如果当前节点比最小子节点大，和该子节点交换位置，一直向下重复该过程
    def _percDown(self,i):
        while (2*i)<=self.size:
            mc = self._minChild(i)
            if self.heapList[i]>self.heapList[mc]:
                temp = self.heapList[i]
                self.heapList[i]=self.heapList[mc]
                self.heapList[mc] =temp
            i = mc

    #返回左右子节点中较小子节点的位置
    def _minChild(self,i):
        if (2*i+1)>self.size:
            return 2*i
        else:
            if self.heapList[2*i] < self.heapList[2*i+1]:
                return 2*i
            else:
                return 2*i+1

    #通过一个list建立二叉堆
    def buildHeap(self,list):
        i = len(list)//2
        self.heapList = [0]+list[:]
        self.size = len(list)
        while i>0:
            self._percDown(i)
            i = i-1

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　　　　 insert()插入过程示例图如下：将元素加到完全二叉树末尾，然后再根据其大小调整其位置

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　　　　delMin()操作过程示例如下：将根元素返回，并将最末尾元素移动到根元素保持完全二叉树结构不变，再根据大小，将新的根元素向下移动到合适的位置

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　　　　insert和delMin的复杂度都为O(log n), buildHeap的复杂度为O(n)，利用二叉堆对list进行排序，复杂度为O(n log n)，代码如下：

#通过list构造二叉堆，然后不断将堆顶元素返回，就得到排序好的list
alist = [54,26,93,17,98,77,31,44,55,20]
h = BinaryHeap()
h.buildHeap(alist)
s=[]
while h.size>0:
    s.append(h.delMin())
print s

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5，二叉搜索树（Binary Search Tree, bst）

　　　　二叉搜索树：左节点的值，总是小于其父节点的值，右节点的值总是大于其父节点的值(bst property)。如下图所示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　技术分享图片

　　　　利用二叉搜索树实现map（字典），常用操作如下：

Map()   # 创建字典
put(key,val)    #  字典中插入数据
get(key)        #  取键值
del                 # 删除
len()              # 求长度
in              #  是否存在

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　　　　python实现map代码如下：

#coding:utf-8

class TreeNode(object):
    def __init__(self,key, value, leftChild=None,rightChild=None,parent=None):
        self.key = key
        self.value = value
        self.leftChild = leftChild
        self.rightChild = rightChild
        self.parent = parent
        self.balanceFactor =0

    def hasLeftChild(self):
        return self.leftChild

    def hasRightChild(self):
        return self.rightChild

    def isLeftChild(self):
        return self.parent and self.parent.leftChild==self

    def isRightChild(self):
        return self.parent and self.parent.rightChild==self

    def isRoot(self):
        return not self.parent

    def isLeaf(self):
        return not (self.leftChild or self.rightChild)

    def hasAnyChildren(self):
        return self.leftChild or self.rightChild

    def hasBothChildren(self):
        return self.leftChild and self.rightChild

    def replaceNodeData(self,key,value,lc=None,rc=None):
        self.key=key
        self.value = value
        self.leftChild = lc
        self.rightChild = rc
        if self.hasLeftChild():
            self.leftChild.parent = self
        if self.hasRightChild():
            self.rightChild = self

    def __iter__(self):
        if self:
            if self.hasLeftChild():
                for elem in self.leftChild:  #调用self.leftChiLd.__iter__()，所以此处是递归的
                    yield elem
            yield self.key, self.value, self.balanceFactor
            if self.hasRightChild():
                for elem in self.rightChild:  #调用self.rightChiLd.__iter__()
                    yield elem

    def findSuccessor(self):  #寻找继承
        succ = None
        if self.hasRightChild():
            succ = self.rightChild._findMin()
        else:
            if self.parent:
                if self.isLeftChild():
                    succ = self.parent
                else:
                    self.parent.rightChild = None
                    succ = self.parent.findSuccessor()
                    self.parent.rightChild = self
        return succ

    def _findMin(self):
        current = self
        while current.hasLeftChild():
            current = current.leftChild
        return current

    def spliceOut(self):
        if self.isLeaf():
            if self.isLeftChild():
                self.parent.leftChild=None
            else:
                self.parent.rightChild=None
        elif self.hasAnyChildren():
            if self.hasLeftChild():
                if self.isLeftChild():
                    self.parent.leftChild = self.leftChild
                else:
                    self.parent.rightChild = self.leftChild
                self.leftChild.parent = self.parent
            else:
                if self.isLeftChild():
                    self.parent.leftChild = self.rightChild
                else:
                    self.parent.rightChild = self.rightChild
                self.rightChild.parent = self.parent


class BinarySearchTree(object):

    def __init__(self):
        self.root = None
        self.size = 0

    def length(self):
        return self.size

    def __len__(self):
        return self.size

    def __iter__(self):
        return self.root.__iter__()

    #加入元素
    def put(self,key,value):
        if self.root:
            self._put(key,value,self.root)
        else:
            self.root = TreeNode(key,value)
        self.size = self.size+1

    def _put(self,key,value,currentNode):
        if currentNode.key<key:
            if currentNode.hasRightChild():
                self._put(key,value,currentNode.rightChild)
            else:
                currentNode.rightChild=TreeNode(key,value,parent=currentNode)
        elif currentNode.key>key:
            if currentNode.hasLeftChild():
                self._put(key,value,currentNode.leftChild)
            else:
                currentNode.leftChild=TreeNode(key,value,parent=currentNode)
        else:
            currentNode.replaceNodeData(key,value)

    def __setitem__(self, key, value):
        self.put(key,value)

    #获取元素值
    def get(self,key):
        if self.root:
            node = self._get(key,self.root)
            if node:
                return node.value
            else:
                return None
        else:
            return None

    def _get(self,key,currentNode):
        if not currentNode:
            return None
        if currentNode.key==key:
            return currentNode
        elif currentNode.key<key:
            return self._get(key,currentNode.rightChild)  #rightChild可能不存在
        else:
            return self._get(key,currentNode.leftChild)  #leftChild可能不存在

    # def _get(self,key,currentNode):
    #     if currentNode.key == key:
    #         return currentNode
    #     elif currentNode.key<key:
    #         if currentNode.hasRightChild():
    #             return self._get(key,currentNode.rightChild)
    #         else:
    #             return None
    #     else:
    #         if currentNode.hasLeftChild():
    #             return self._get(key,currentNode.leftChild)
    #         else:
    #             return None

    def __getitem__(self, key):
        return self.get(key)

    def __contains__(self, key): #实现 in 操作
        if self._get(key,self.root):
            return True
        else:
            return False

    def delete(self,key):
        if self.size>1:
            node = self._get(key,self.root)
            if node:
                self._del(node)
                self.size = self.size - 1
            else:
                raise KeyError(‘Error, key not in tree‘)
        elif self.size==1 and self.root.key==key:
            self.root = None
            self.size = self.size - 1
        else:
            raise KeyError(‘Error, key not in tree‘)

    def _del(self,currentNode):
        if currentNode.isLeaf():
            if currentNode.isLeftChild():
                currentNode.parent.leftChild = None
            elif currentNode.isRightChild():
                currentNode.parent.rightChild = None
        elif currentNode.hasBothChildren():
            successor = currentNode.findSuccessor()  #此处successor为其右子树的最小值，即最左边的值
            successor.spliceOut()
            currentNode.key = successor.key
            currentNode.value = successor.value
        elif currentNode.hasAnyChildren():
            if currentNode.hasLeftChild():
                if currentNode.isLeftChild():
                    currentNode.parent.leftChild = currentNode.leftChild
                    currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
                elif currentNode.isRightChild():
                    currentNode.parent.rightChild = currentNode.leftChild
                    currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
                else:  # currentNode has no parent (is root)
                    currentNode.replaceNodeData(currentNode.leftChild.key,
                                        currentNode.leftChild.value,
                                        currentNode.leftChild.leftChild,
                                        currentNode.leftChild.rightChild)
            elif currentNode.hasRightChild():
                if currentNode.isLeftChild():
                    currentNode.parent.leftChild = currentNode.rightChild
                    currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
                elif currentNode.isRightChild():
                    currentNode.parent.rightChild = currentNode.rightChild
                    currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
                else:  # currentNode has no parent (is root)
                    currentNode.replaceNodeData(currentNode.rightChild.key,
                                        currentNode.rightChild.value,
                                        currentNode.rightChild.leftChild,
                                        currentNode.rightChild.rightChild)

    def __delitem__(self, key):
        self.delete(key)
if __name__ == ‘__main__‘:
    mytree = BinarySearchTree()
    mytree[8]="red"
    mytree[4]="blue"
    mytree[6]="yellow"
    mytree[5]="at"
    mytree[9]="cat"
    mytree[11]="mat"

    print(mytree[6])
    print(mytree[5])
    for x in mytree:
        print x

    del mytree[6]
    print ‘-‘*12
    for x in mytree:
        print x

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　　　　在上述代码中最复杂的为删除操作，删除节点时有三种情况：节点为叶子节点，节点有两个子节点，节点有一个子节点。当节点有两个子节点时，对其删除时，应该用其右子树的最小值来代替其位置（即右子树中最左边的值）。

　　　　对于map进行复杂度分析，可以发现put，get取决于tree的高度，当节点随机分配时复杂度为O(log n)，但当节点分布不平衡时，复杂度会变成O(n)，如下图所示：

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6, 平衡二叉搜索树（Balanced binary search tree, AVL tree）

　　　　平衡二叉搜索树：又称为AVL Tree，取名于发明者G.M. Adelson-Velskii 和E.M. Landis，在二叉搜索树的基础上引入平衡因子（balance factor），每次插入和删除节点时都保持树平衡，从而避免上面出现的搜索二叉树复杂度会变成O(n)。一个节点的balance factor的计算公式如下，即该节点的左子树高度减去右子树高度。

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　　　　当树所有节点的平衡因子为-1,0,1时，该树为平衡树，平衡因子大于1或小于-1时，树不平衡需要调整，下图为一颗树的各个节点的平衡因子。（1时树left-heavy，0时完全平衡，-1时right-heavy）

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　　　　相比于二叉搜索树，AVL树的put和delete操作后，需要对节点的平衡因子进行更新，如果某个节点不平衡时，需要进行平衡处理，主要分为左旋转和右旋转。

　　　　左旋转：如图，节点A的平衡因子为-2（right heavy），不平衡，对其进行左旋转，即以A为旋转点，AB边逆时针旋转。

　　　　　　　　详细操作为：1，A的右节点B作为新的子树根节点

　　　　　　　　　　　　　　2，A成为B的左节点，如果B有左节点时，将其左节点变为A的右节点（A的右节点原来为B，所以A的右节点现在为空）

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　　　　右旋转：如图，节点E的平衡因子为2（left heavy），不平衡，对其进行右旋转，即以E为旋转点，EC边顺时针旋转。

　　　　　　　　详细操作为：1，E的左节点C作为新的子树根节点

　　　　　　　　　　　　　　2，E成为C的右节点，如果C有右节点时，将其右节点变为E的左节点（E的左节点原来为C，所以E的左节点现在为空）

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　　　　特殊情况：当出现下面的情况时，如图所示，A依旧为right heavy，但若进行左旋转，又会出现left heavy，无法完成平衡操作。所以在进行左旋转和右旋转前需要进行一步判断，具体操作如下：

　　　　　　1，如果某节点需要进行左旋转平衡时（right heavy），检查其右子节点的平衡因子，若右子节点为left heavy，先对右子节点右旋转，然后对该节点左旋转

　　　　　　2，如果某节点需要进行右旋转平衡时（left heavy），检查其左子节点的平衡因子，若左子节点为right heavy，先对左子节点左旋转，然后对该节点右旋转

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　　　　AVL tree用python实现的代码如下：

#coding:utf-8

from binarySearchTree import TreeNode, BinarySearchTree

# class AVLTreeNode(TreeNode):
#
#     def __init__(self,*args,**kwargs):
#         self.balanceFactor = 0
#         super(AVLTreeNode,self).__init__(*args,**kwargs)

class AVLTree(BinarySearchTree):

    def _put(self,key,value,currentNode):
        if currentNode.key<key:
            if currentNode.hasRightChild():
                self._put(key,value,currentNode.rightChild)
            else:
                currentNode.rightChild=TreeNode(key,value,parent=currentNode)
                self.updateBalance(currentNode.rightChild)
        elif currentNode.key>key:
            if currentNode.hasLeftChild():
                self._put(key,value,currentNode.leftChild)
            else:
                currentNode.leftChild=TreeNode(key,value,parent=currentNode)
                self.updateBalance(currentNode.leftChild)
        else:
            currentNode.replaceNodeData(key,value)

    def _del(self,currentNode):
        if currentNode.isLeaf():
            if currentNode.isLeftChild():
                currentNode.parent.leftChild = None
                currentNode.parent.balanceFactor -=1
            elif currentNode.isRightChild():
                currentNode.parent.rightChild = None
                currentNode.parent.balanceFactor += 1
            if currentNode.parent.balanceFactor>1 or currentNode.parent.balanceFactor<-1:
                self.reblance(currentNode.parent)
        elif currentNode.hasBothChildren():
            successor = currentNode.findSuccessor()  #此处successor为其右子树的最小值，即最左边的值
            # 先更新parent的balanceFactor
            if successor.isLeftChild():
                successor.parent.balanceFactor -= 1
            elif successor.isRightChild():
                successor.parent.balanceFactor += 1
            successor.spliceOut()
            currentNode.key = successor.key
            currentNode.value = successor.value

            # 删除后，再判断是否需要再平衡，然后进行再平衡操作
            if successor.parent.balanceFactor>1 or successor.parent.balanceFactor<-1:
                self.reblance(successor.parent)
        elif currentNode.hasAnyChildren():

            #先更新parent的balanceFactor
            if currentNode.isLeftChild():
                currentNode.parent.balanceFactor -= 1
            elif currentNode.isRightChild():
                currentNode.parent.balanceFactor += 1

            if currentNode.hasLeftChild():
                if currentNode.isLeftChild():
                    currentNode.parent.leftChild = currentNode.leftChild
                    currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
                elif currentNode.isRightChild():
                    currentNode.parent.rightChild = currentNode.leftChild
                    currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
                else:  # currentNode has no parent (is root)
                    currentNode.replaceNodeData(currentNode.leftChild.key,
                                        currentNode.leftChild.value,
                                        currentNode.leftChild.leftChild,
                                        currentNode.leftChild.rightChild)
            elif currentNode.hasRightChild():
                if currentNode.isLeftChild():
                    currentNode.parent.leftChild = currentNode.rightChild
                    currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
                elif currentNode.isRightChild():
                    currentNode.parent.rightChild = currentNode.rightChild
                    currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
                else:  # currentNode has no parent (is root)
                    currentNode.replaceNodeData(currentNode.rightChild.key,
                                        currentNode.rightChild.value,
                                        currentNode.rightChild.leftChild,
                                        currentNode.rightChild.rightChild)
             #删除后，再判断是否需要再平衡，然后进行再平衡操作
            if currentNode.parent!=None: #不是根节点
                if currentNode.parent.balanceFactor>1 or currentNode.parent.balanceFactor<-1:
                    self.reblance(currentNode.parent)

    def updateBalance(self,node):
        if node.balanceFactor>1 or node.balanceFactor<-1:
            self.reblance(node)
            return
        if node.parent!=None:
            if node.isLeftChild():
                node.parent.balanceFactor +=1
            elif node.isRightChild():
                node.parent.balanceFactor -=1
            if node.parent.balanceFactor!=0:
                self.updateBalance(node.parent)

    def reblance(self,node):
        if node.balanceFactor>1:
            if node.leftChild.balanceFactor<0:
                self.rotateLeft(node.leftChild)
            self.rotateRight(node)
        elif node.balanceFactor<-1:
            if node.rightChild.balanceFactor>0:
                self.rotateRight(node.rightChild)
            self.rotateLeft(node)

    def rotateLeft(self,node):
        newroot = node.rightChild
        node.rightChild = newroot.leftChild
        if newroot.hasLeftChild():
            newroot.leftChild.parent = node
        newroot.parent = node.parent
        if node.parent!=None:
            if node.isLeftChild():
                node.parent.leftChild = newroot
            elif node.isRightChild():
                node.parent.rightChild = newroot
        else:
            self.root = newroot
        newroot.leftChild = node
        node.parent = newroot
        node.balanceFactor = node.balanceFactor+1-min(newroot.balanceFactor,0)
        newroot.balanceFactor = newroot.balanceFactor+1+max(node.balanceFactor,0)

    def rotateRight(self,node):
        newroot = node.leftChild
        node.leftChild = newroot.rightChild
        if newroot.rightChild!=None:
            newroot.rightChild.parent = node
        newroot.parent = node.parent
        if node.parent!=None:
            if node.isLeftChild():
                node.parent.leftChild = newroot
            elif node.isRightChild():
                node.parent.rightChild = newroot
        else:
            self.root = newroot
        newroot.rightChild = node
        node.parent = newroot
        node.balanceFactor = node.balanceFactor-1-max(newroot.balanceFactor,0)
        newroot.balanceFactor = newroot.balanceFactor-1+min(node.balanceFactor,0)

if __name__ == ‘__main__‘:
    
    mytree = AVLTree()
    mytree[8]="red"
    mytree[4]="blue"
    
    mytree[6]="yellow"
    
    mytree[5]="at"
    
    mytree[9]="cat"
    
    mytree[11]="mat"
    
    print(mytree[6])
    print(mytree[5])
    
    print ‘-‘*12
    print (‘key‘,‘value‘,‘balanceFactor‘)
    for x in mytree:
        print x
    print ‘root:‘,mytree.root.key


    del mytree[6]
    print ‘-‘*12
    print (‘key‘,‘value‘,‘balanceFactor‘)
    for x in mytree:
        print x
    print ‘root:‘,mytree.root.key

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　　　　AVL Tree继承了二叉搜索树，对其插入和删除方法进行了重写，另外对TreeNode增加了balanceFactor属性。再进行左旋转和右旋转时，对于balanceFactor的需要计算一下，如图的左旋转过程中，D成为了新的根节点，只有B和D的平衡因子发生了变化，需要对其进行更新。（右旋转和左旋转类似）

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