约瑟夫问题

Posted 2021-01-25 fortunely

约瑟夫问题求解

来源：http://dsalgo.openjudge.cn/

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描述

有n只猴子，按顺时针方向围成一圈选大王（编号从1到n），从第1号开始报数，一直数到m，数到m的猴子退出圈外，剩下的猴子再接着从1开始报数。就这样，直到圈内只剩下一只猴子时，这个猴子就是猴王，编程求输入n，m后，输出最后猴王的编号。

 

输入

输入包含两个整数，第一个是n，第二个是m（0<m,n<=300）。

 

输出

输出包含一行，即最后猴王的编号。

 

样例输入

12 4

 

样例输出

1

 

解法一：

常规解法，用循环单向链表存储并模拟选猴王的过程。问题可以抽象为，

有编号为1~n的n个元素，按顺序分别存储在循环单向链表list的结点的数据中。从list的位序为0的结点开始计数0，删除计数到m-1的结点，并以后继作为新的计数起点，然后重复，直至最后只剩一个节点。

 

注意：

1)      如果m>=list.length，则循环到表头部分，不妨令m’=m%list.length，即为新计数起点对应结点的位序；

2)      考虑到每次都是删除的(m-1)%list.length节点，不妨将其后继节点设置为链表的第0号结点；

 

步骤：

1)      输入n, m，构造L；

2)      判断链表长度list.length是否==1，如果是，则返回L[0].data值，即为求解编号；如果不是，则删除m’(m’=m%length)的前驱L[(m-1)%length]，list.length—

3)      以m’为新链表的第0号结点，跳转至2)，直到list.length==1；

 

伪码（循环实现）

// Java代码
	/**
	 * 约瑟夫问题通过模拟计数进行求解
	 * @param n 参与人数
	 * @param m 每次报的最大号, 也是要删除的号
	 * @return 最后胜出者编号
	 */
	static int JosephCount(int n, int m){
		CLinkedList list = new CLinkedList();
		
		// 构造n个数据结点组成的带头节点的链表, 数据域分别为1, 2, 3... n
		for(int i = n; i > 0; i --){
			list.add(0, i); // 在第0号位置插入新节点
		}
		
		int removeIndex = 0;    // 要删除的结点位序
		int newFirsdNodeIndex = 0;  // 新链表0号位置结点在设置新0号结点前的链表中的位置
		
		// 循环报号过程: 删除m-1位置结点, 设置链表0号结点, 直到只剩1个结点
		while(list.getLength() > 1){
			removeIndex = (m-1) % list.getLength();
			list.remove(removeIndex);
			
			// 删除之后, length--, 原removeIndex可能等于length
			if(removeIndex == list.getLength()){
				// 如果删除结点是尾节点, 新链表0号结点也是删除结点后的链表0号结点
				newFirsdNodeIndex = 0;
			}
			else{
				// 删除节点不是尾节点, 新链表0号结点位序是删除结点位序
				newFirsdNodeIndex = removeIndex;
			}
			
			list.setFirstNode(newFirsdNodeIndex);
		}
		 
		int winId = list.getNode(0).getData(); // 最后只剩1个数据结点的data域即为胜出者编号
		
		return winId;
	}

 

解法二：

递推公式，这里用递归实现

 

分析

解法一过程中，发现每次删除的都是第m-1结点，m结点成为新表0号结点，左半部分右移，右半部分左移。能不能找到第k次和k-1次之间的关系？或者长度len和len-1之间的关系？

 

以n=12, m=4为例，

操作状态	剩余编号序列	长度len
原始编号	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	12
第一次    删除 设置0结点	1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3	11
第二次    删除 设置0结点	5 6 7 9 10 11 12 1 2 3 9 10 11 12 1 2 3 5 6 7	10
第三次    删除 设置0结点	9 10 11 1 2 3 5 6 7 1 2 3 5 6 7 9 10 11	9
…
第k-1次 删除 设置0结点	k0 k1 k2 … k(m-2) k(m-1) km k(m+1)… k(len-2) k(len-1)	n-(k-1)
第k次 删除 设置0结点	k0 k1 k2 … k(m-2) km k(m+1)… k(len-2) k(len-1) km k(m+1)… k(len-2) k(len-1) k0 k1 k2 … k(m-2)	n-k
…

 

具体地，

从初始状态到第一次设置0结点，位置为4~11的元素(编号5~12)变成了0~7，也就是左移m (m=4)；位置为0~2的元素(编号1~3)变成了8~10，也就是右移n-m (n-m=8)；

第一次设置0结点到第二次设置时，位置4~10的元素位置变成0~6，即左移m (m=4)；位置0~2的元素位置变成7~9，即右移n-1-m (n-1-m=7)；

 

从第k-1次设置0结点，到第k次设置0结点时，

当k次操作前的位置i<m-1时，表长=n-(k-1)，操作后的位置相当于向右移动n-k-m，表长度=n-k；

当k次操作前的位置i>m-1时，表长=n-(k-1)，操作后的位置相当于向左移动m，表长度=n-k；

如果记元素在第k次的位置为f(k)(k>=1)，那么有，

         表长，

  f(k)是元素在表中位置，可知0<=f(k)<len(k)，那么

 

 

要求解的是什么？

要求的是胜出者编号，知道k=0时，元素编号=位置f(k=0)+1，而不知胜出者位置。不妨记胜出者元素编号为X（X保持不变），问题转化为求f(k=0)。

还有个隐含情况，k=n-1时（长度=1），胜出者位置即为唯一元素位置f(k=n-1, X)=0。

 

这刚好可以利用递推关系求解，

问题转化为

条件：

1)      已知f(n-1) = 0；

2)      f(k)和f(k-1)关系，

 

求解：f(0)

 

求解过程

由2）可得，

 

可以用递归来实现，伪码（JAVA）

 

         /**
	 * 调用递推公式函数, 求解胜利者初始位置, 转换为编号并返回
	 */
	static int JosephCount_Recursion(int n, int m){
		return JosephCount_f(0, n, m) + 1;
	}
	
	/**
	 * 利用递归实现递推公式求解f(0)
	 */
	static int JosephCount_f(int k, int n, int m){
		if(k == n-1) return 0;
		else{
			return (JosephCount_f(k+1, n, m) + m) % (n-k);
		}
	}

 

 

当然，可以将关于操作次数k的位置函数f(k)，转化为关于长度的位置函数f(t)。

 

问题也就转化为已知f(1)=0，求解f(n)了。具体过程不再给出，下面给出伪码（JAVA）。

 

	/**
	 * 调用递推公式函数, 求解胜利者初始位置, 转换为编号并返回
	 */
	static int JosephCount_Recursion2(int n, int m){
		int winId = JosephCount_f2(n, m) + 1;
		return winId;
	}
	
	/**
	 * 利用递归实现递推公式求解f(1)
	 */
	static int JosephCount_f2(int n, int m){
		if(n == 1){
			return 0;
		}
		else{
			return (JosephCount_f2(n-1, m) + m) % n;
		}
	}

 

demo源码下载地址：Github代码