Scout YYF I POJ - 3744（概率dp）

Posted 2021-01-25 h-riven

Description

YYF is a couragous scout. Now he is on a dangerous mission which is to penetrate into the enemy‘s base. After overcoming a series difficulties, YYF is now at the start of enemy‘s famous "mine road". This is a very long road, on which there are numbers of mines. At first, YYF is at step one. For each step after that, YYF will walk one step with a probability of p, or jump two step with a probality of 1-p. Here is the task, given the place of each mine, please calculate the probality that YYF can go through the "mine road" safely.

Input

The input contains many test cases ended with EOF.
Each test case contains two lines.
The First line of each test case is N (1 ≤ N ≤ 10) and p (0.25 ≤ p ≤ 0.75) seperated by a single blank, standing for the number of mines and the probability to walk one step.
The Second line of each test case is N integer standing for the place of N mines. Each integer is in the range of [1, 100000000].

Output

For each test case, output the probabilty in a single line with the precision to 7 digits after the decimal point.

Sample Input

1 0.5
2
2 0.5
2 4

Sample Output

0.5000000
0.2500000

一条路上一共有n个地雷，每次从 i 位置有 p 的概率走向 i+1 位置，有 1-p 的概率走向 i+2 位置，问在这条路上走不被炸死的概率是多大。
用dp[i] = x 表示走到第 i 个位置的概率，那么dp[i] = p * dp[i-1] + (1-p) * dp[i-2].
但是 i 的范围在 1e8 内，所以不能直接遍历。
一开始想错了，以为第 x 位置的地雷只会对后面两个位置产生影响，这种情况是 p = 0.5的特殊情况下的。
假设地雷的位置是x1, x2 可以把 1->x1 之间不踩到地雷和 x1+1 -> x2 之间不踩到地雷看成两个独立事件，然后最后讲每次(1-dp[地雷])的概率相乘就可以了。
然后接下来就是对从 1->x 过程求 dp[x] 概率了，这个过程可以通过矩阵快速幂来加速。

  1 /*
  2           .
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 46        .!%%&%‘`|$;       :|$#%|@#&;%#%.
 47 */
 48 #include <map>
 49 #include <set>
 50 #include <list>
 51 #include <ctime>
 52 #include <cmath>
 53 #include <stack>
 54 #include <queue>
 55 #include <string>
 56 #include <vector>
 57 #include <cstdio>
 58 #include <bitset>
 59 #include <cstdlib>
 60 #include <cstring>
 61 #include <iostream>
 62 #include <algorithm>
 63 #define  lowbit(x)  x & (-x)
 64 #define  mes(a, b)  memset(a, b, sizeof a)
 65 #define  fi         first
 66 #define  se         second
 67 #define  pii        pair<int, int>
 68 #define  INOPEN     freopen("in.txt", "r", stdin)
 69 #define  OUTOPEN    freopen("out.txt", "w", stdout)
 70 
 71 typedef unsigned long long int ull;
 72 typedef long long int ll;
 73 const int    maxn = 1e5 + 10;
 74 const int    maxm = 1e5 + 10;
 75 const int    mod  = 1e9 + 7;
 76 const ll     INF  = 1e18 + 100;
 77 const int    inf  = 0x3f3f3f3f;
 78 const double pi   = acos(-1.0);
 79 const double eps  = 1e-8;
 80 using namespace std;
 81 
 82 int n, m;
 83 int cas, tol, T;
 84 
 85 struct Mat {
 86     double mat[5][5];
 87     void init() {
 88         for(int i=1; i<=2; i++) {
 89             for(int j=1; j<=2; j++) {
 90                 mat[i][j] = 0.0;
 91             }
 92         }
 93     }
 94 };
 95 int a[15];
 96 
 97 Mat mmul(Mat A, Mat B) {
 98     Mat ans;
 99     ans.init();
100     for(int i=1; i<=2; i++) {
101         for(int j=1; j<=2; j++) {
102             for(int k=1; k<=2; k++) {
103                 ans.mat[i][j] += A.mat[i][k] * B.mat[k][j];
104             }
105         }
106     }
107     return ans;
108 }
109 
110 Mat mpow(Mat A, int b) {
111     Mat ans;
112     ans.init();
113     for(int i=1; i<=2; i++)
114         ans.mat[i][i] = 1.0;
115     while(b) {
116         if(b & 1)
117             ans = mmul(ans, A);
118         A = mmul(A, A);
119         b >>= 1;
120     }
121     return ans;
122 }
123 
124 int main() {
125     double p, q;
126     while(~scanf("%d%lf", &n, &p)) {
127         mes(a, 0);
128         q = 1.0 - p;
129         int flag = 0;
130         for(int i=1; i<=n; i++) {
131             scanf("%d", &a[i]);
132             if(a[i] == 1) {
133                 flag = 1;
134             }
135         }
136         if(flag) {
137             printf("0.0000000
");
138             continue;
139         }
140         a[n+1] = 0;
141         n++;
142         sort(a+1, a+1+n);
143         double ans = 1.0;
144         Mat A;
145         for(int i=2; i<=n; i++) {
146             if(a[i] == a[i-1])    continue;
147             int tmp = a[i] - a[i-1] + 1;
148             if(tmp == 2) {
149                 ans *= 0.0;
150             } else {
151                 A.mat[1][1] = p;
152                 A.mat[1][2] = q;
153                 A.mat[2][1] = 1.0;
154                 A.mat[2][2] = 0.0;
155                 A = mpow(A, tmp-2);
156 //                for(int i=1; i<=2; i++) {
157 //                    for(int j=1; j<=2; j++) {
158 //                        printf("%f%c", A.mat[i][j], j==2 ? ‘
‘ : ‘ ‘);
159 //                    }
160 //                }
161                 ans *= (1 - A.mat[1][1]);
162             }
163         }
164         printf("%.7f
", ans);
165     }
166     return 0;
167 }

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