树状数组略解

Posted 2021-01-25 yzhang-rp-inf

树状数组

树状数组是一个很奇特的树，它的节点会比线段树少一些，也能表示一个数组。

比如一个数组叫做a有8个数，那么它的树状数组样子就长这样

c数组就是树状数组，能看出来

c1=a1;
c2=a1+a2;
c3=a3;
c4=a1+a2+a3+a4;

以此类推。。。。。。 很难说出他们的关系，但是如果把它们变为二进制

c0001=a0001
c0010=a0001+a0010
c0011=a0011
c0100=a0001+a0010+a0011+a0100

你会发现，将每一个二进制，去掉所有高位1，只留下最低位的1，然后从那个数一直加到1，看一看是不是这样。

树状数组单点修改

这里有一个很关键的东西，叫做lowbit，lowbit是将一个二进制数的所有高位一都去掉，只留下最低位的1，比如lowbit（5）=lowbit（0101（二进制））=0001（二进制）

而如果改变x的值，就要加上自己的lowbit，一直加到n，这些节点都要加，比如一共有8个数第3个数要加上k，那么c[0011]+=k;

c[0011+0001] (c[0100])+=k;

c[0100+0100] (c[1000])+=k;

这样就能维护树状数组

inline int lowbit(register int x)
{
    return x&(-x);
 } 
inline void add(register int x,register int k)
{
    while(x<=n)
    {
        tree[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}

树状数组区间查询

就是前缀和，比如查询x到y区间的和，那么就将从1到y的和-从1到x的和。

从1到y的和求法是，将y转为2进制，然后一直减去lowbit(y)，一直到0

比如求1到7的和

ans+=c[0111];
ans+=c[0111-0001(0110)];
ans+=c[0110-0010(0100)];
ans+=c[0100-0100(c[0]无意义，结束)]

inline int sum(register int x)
{
    int ans=0;
    while(x!=0)
    {
        ans+=tree[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

树状数组区间修改

简单差分。如果将x到y区间加上一个k，那就是从x到n都加上一个k，再从y+1到n加上一个-k

加的移动还是i+=lowbit(i);

代码与单点修改相同（就是两次单点修改）

树状数组单点查询

从x点，一直x-=lowbit(x)，沿途都加上就好啦

实际和区间查询相同

完整代码（Luogu P3374 【模板】树状数组 1）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,tree[2000010];
inline int lowbit(register int x)
{
    return x&(-x);
} 
inline void add(register int x,register int k)
{
    while(x<=n)
    {
        tree[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}
inline int sum(register int x)
{
    int ans=0;
    while(x!=0)
    {
        ans+=tree[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        add(i,a);
    }
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        if(a==1)
            add(b,c);
        else
            printf("%d
",sum(c)-sum(b-1));
    }
    return 0;
}

完整代码（Luogu P3368 【模板】树状数组 2）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int input[500010];
int tree[500100];
inline int lowbit(register int x)
{
    return x&(-x);
} 
inline void add(register int x,register int k)
{
    while(x<=n)
    {
        tree[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}
inline int search(register int x)
{
    int ans=0;
    while(x!=0)
    {
        ans+=tree[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&input[i]);
    while(m--)
    {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        if(a==1)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            add(x,z);
            add(y+1,-z);
        }
        else
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            printf("%d
",input[x]+search(x));
        }
   }
}

树状数组还珂以求逆序对

留给读者自行思考（实际我懒着写了，动态开点就行了）