2009 Putnam Competition B3

Posted 2021-01-25 skylee03

2009 Putnam Competition B3

题目大意：

(T(tle10^5))次询问，每次询问(n(nle2 imes10^6))以内的正整数构成的集合，有多少满足若(ain S,bin S)且(2|(a+b))，则(frac{a+b}2in S)。

思路：

OEIS A124197

显然，取值区间([1,n])和([2,n+1])答案是相等的。

用(f(n))表示(n)以内的合法集合的答案，考虑二阶差分((f(n+1)-f(n))-(f(n)-f(n-1)))的含义，就是强制包含(1)和(n+1)时合法集合数。

线性筛出每个数奇约数的个数(g_i)，作二维前缀和(h_i)，然后答案就是(h_{n-1}+n+1)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
typedef long long int64;
const int N=2e6+1;
bool vis[N];
int64 f[N];
int p[N],q[N];
inline void sieve() {
    std::fill(&f[1],&f[N],1);
    for(register int i=2;i<N;i++) {
        if(!vis[i]) {
            q[i]=1;
            f[i]=2;
            p[++p[0]]=i;
        }
        for(register int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<N;j++) {
            vis[p[j]*i]=true;
            if(i%p[j]==0) {
                q[p[j]*i]=q[i]+1;
                f[p[j]*i]=f[i];
                f[p[j]*i]/=q[i]+1;
                f[p[j]*i]*=q[i]+2;
                break;
            } else {
                q[p[j]*i]=1;
                f[p[j]*i]=f[i]*2;
            }
        }
    }
}
int main() {
    sieve();
    for(register int i=1;i<N;i++) {
        if(i%2==0) f[i]=f[i>>1];
    }
    for(register int i=1;i<N;i++) f[i]+=f[i-1];
    for(register int i=1;i<N;i++) f[i]+=f[i-1];
    for(register int T=getint();T;T--) {
        const int n=getint();
        printf("%lld
",f[n-1]+n+1);
    }
    return 0;
}