[CF1039D]You Are Given a Tree[贪心+根号分治]

Posted 2021-01-24 yqgakioi

题意

给你(n)个点的树,其中一个简单路径的集合被称为(k)合法当且仅当树的每个节点最多属于一条路径,且每条路径包含(k)个节点。对于每个(k(k in [1,n])),输出最多的(k)合法路径。

(nleq 10^5)。

分析

• 先考虑 (n^2) 的做法，每次可以贪心地合并链，正确性显然。

• 考虑根号分治，(k<sqrt n) 时 (O(n)) 暴力，否则因为取值是单调的可以二分，取值不超过 (frac{n}{sqrt n}=sqrt n) 个。

• 总时间复杂度为 (O(nsqrt nlogn))。

• 因为这里两种操作的复杂度不均衡，所以可以把块的大小稍微调大。

根号分治的特点：(x<sqrt n) 暴力个数和 (x>sqrt n) 单个复杂度 (frac{n}{sqrt n}=sqrt n)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].lst,v=e[i].to)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
typedef long long LL;
inline int gi(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=1e5 + 7;
int n,t1,low,edc;
int ans[N],mx[N],head[N],fa[N];
vector<int>gg;
struct edge{
    int lst,to;
    edge(){}edge(int lst,int to):lst(lst),to(to){}
}e[N*2];
void Add(int a,int b){
    e[++edc]=edge(head[a],b),head[a]=edc;
    e[++edc]=edge(head[b],a),head[b]=edc;
}
void dfs(int u){
    go(u)if(v^fa[u]) {
        fa[v]=u,dfs(v);
    }
    gg.pb(u);
}
int solve(int k){
    int res=0;
    rep(i,1,n) mx[i]=1;
    for(auto u:gg){
        if(fa[u]&&mx[fa[u]]!=-1&&mx[u]!=-1){
            if(mx[u]+mx[fa[u]]>=k) ++res,mx[fa[u]]=-1;
            else Max(mx[fa[u]],mx[u]+1);
        }
    }
    return res;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    n=gi();
    rep(i,1,n-1) Add(gi(),gi());
    int sz=min(400,n);
    dfs(1);
    ans[1]=n;
    rep(i,2,sz+1) ans[i]=solve(i);;
    for(int i=sz+1,j=sz+1;i<=n;i=j+1,j=i){
        int l=i,r=n,tmp=solve(i);
        while(l<r){
            int mid=l+r+1>>1;
            if(solve(mid)==tmp) l=mid;
            else r=mid-1;
        }
        j=l;
        rep(k,i,j) ans[k]=tmp;
    }
    rep(i,1,n) printf("%d
",ans[i]);
    return 0;
}