训练记录PART7

Posted 2021-01-24 jiangshibiao

再不更博客我就……！！！……吃cjb！

T112-2018 Bytedance-MW Wintercamp Selection Contest C

　　题意：给出一棵 (N(leq 10^6)) 个点的带边权的树。甲乙两人轮流博弈，每次可以选择将一条边 (e) 的边权 (w_e) 减一。若减完后变成 (0)，则割掉不包含根的那个连通块。双方执最优策略，问先手是否必胜。如果必胜的话，还要输出所有可行的第一步删边方案。
　　题解：如果边权 (w_e=1)，有一个很简单的结论：子树 $sg_x=(sg_{y_1}+1) oplus (sg_{y_2}+1) dots $。这个可以用归纳法来证明。
　　此题中边权可以大于 (1)。事实上，还有一个一般性的基于图的做法。链接可参考这里。
　　主要思想是基于对原图进行等价变换。
　　　　等价变换①：偶环可以“缩成”一个点（偶环里的边将变成这个点的子环）。
　　　　等价变换②：自环可以拆成一个新的儿子。
　　直接将此题的树看成图，可以发现子树 (sg_y) 对 (sg_x) 的贡献是 (sg_y oplus [w_{x,y} mid 2]) 。特殊情况是 (sg_y+1[w_{x,y}=1])。
　　第二问相当于，我们要将某一条边减少一，使根的 (sg) 变为 (0)。直接 (DFS) 下去，每次维护需要将当前的 (sg) 变成多少才能合法。