生产线平衡问题的+Leapms解法

Posted 2021-01-24 leapms

生产线平衡问题 (The Assembly Line Balancing Problem)

生产线又叫做组装生产线, 是把产品的工艺做串行生产安排的流水生产线。一个产品的组装需要不同的工序来完成，且工序之间有先后次序要求。

下表是Jackson, J. R. . (1956)给出一个产品工序的装配次序要求：

 

工序	执行时长	紧前工序
1	6	--
2	2	1
3	5	1
4	7	1
5	1	1
6	2	2
7	3	3，4，5
8	6	6
9	5	7
10	5	8
11	4	10，9

 

上表也可以用有向图表示：

生产线平衡问题的目的是：把工序划分成工作站，且满足工序紧前要求。优化目标有两种：（1）在生产节拍被指定时使得工作站数量最少；或（2）在工作站数量被限定情况下使得生产节拍最小。

前一种目标被称为第一类生产线平衡问题，后一种目标被称为第二类生产线平衡问题。

---

 

第2类问题生产线平衡问题的建模

（1）问题

已知工作站共有m=5个，工序共有n=11个，极小化生产节拍。

（2）有向图的表达

有向图可以表达为节点的点对集合，例如 e={ 1 2， 1 3， 1 4，...，10 11}

第k条边的前后两个顶点一般被写成 a[k], 和 b[k]。第k条边被记为 (a[k], b[k]) 

边的数目 ne 是 e 中元素数除以2，即：ne=_$(e)/2

（3）决策变量

设 x[i][j] 为0-1变量，表示工序j是否被分配给工作站i。其中i=1,...,m; j=1,...,n。

（4）依赖变量

设变量c为生产线的节拍

（5）目标是极小化生产节拍，即：

　　minimize  c

（6）约束1： 每个工序被分配给且仅被分配给一个工作站：

      sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n

（7）约束2：节拍大于等于任何一个工作站的执行时长：

     c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j]   | i=1,...,m

（8）约束3：对任何边k,如果其后节点b[k]被分配到工作站i，则其前节点 a[k] 必须被分配到 j=1,...,i 中的某个节点，即：

      x[i][b[k]] <= sum{j=1,...,i}x[j][a[k]]   |  i=1,...,m;k=1,...,ne

第2类问题生产线平衡问题的+leapms模型

//第二类生产线平衡问题
minimize  c

subject to
    sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n
    c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j] | i=1,...,m
    x[i][b[k]]<=sum{j=1,...,i}x[j][a[k]]|i=1,...,m;k=1,...,ne

where
    m,n,ne are integers
    t[j] is a number | j=1,...,n
    e is a set
    a[k],b[k] is an integer|k=1,...,ne
    c is a variable of number
    x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,m;j=1,...,n

data
    m=5
    n=11
    t={6 2 5 7 1 2 3 6 5 5 4}
    e={
      1 2
      1 3
      1 3
      1 5
      2 6
      3 7
      4 7
      5 7
      6 8
      7 9
      8 10
      9 11
      10 11
    }

data_relation
  ne=_$(e)/2
  a[k]=e[2k-1]|k=1,...,ne
  b[k]=e[2k]|k=1,...,ne

第2类问题生产线平衡问题的模型求解

Welcome to +Leapms ver 1.1(162260) Teaching Version  -- an LP/LMIP modeling and
solving tool.欢迎使用利珀 版本1.1(162260) Teaching Version  -- LP/LMIP 建模和求
解工具.

+Leapms>load
 Current directory is "ROOT".
 .........
        p2.leap
 .........
please input the filename:p2
================================================================
1:  //第二类生产线平衡问题
2:  minimize  c
3:
4:  subject to
5:      sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n
6:      c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j] | i=1,...,m
7:      x[i][b[k]]<=sum{j=1,...,i}x[j][a[k]]|i=1,...,m;k=1,...,ne
8:
9:  where
10:      m,n,ne are integers
11:      t[j] is a number | j=1,...,n
12:      e is a set
13:      a[k],b[k] is an integer|k=1,...,ne
14:      c is a variable of number
15:      x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,m;j=1,...,n
16:
17:  data
18:      m=5
19:      n=11
20:      t={6 2 5 7 1 2 3 6 5 5 4}
21:      e={
22:        1 2
23:        1 3
24:        1 3
25:        1 5
26:        2 6
27:        3 7
28:        4 7
29:        5 7
30:        6 8
31:        7 9
32:        8 10
33:        9 11
34:        10 11
35:      }
36:  data_relation
37:    ne=_$(e)/2
38:    a[k]=e[2k-1]|k=1,...,ne
39:    b[k]=e[2k]|k=1,...,ne
40:
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=56
number of constraints=81
..................................
+Leapms>mip
relexed_solution=9.2; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
 nbnode=230;  memindex=(24,24) zstar=13; GB->zi=10
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整数规划的最优解.非零变量值和最优目标值如下：
  .........
    c* =10
    x1_1* =1
    x1_5* =1
    x2_2* =1
    x2_6* =1
    x2_8* =1
    x3_3* =1
    x3_10* =1
    x4_4* =1
    x4_7* =1
    x5_9* =1
    x5_11* =1
  .........
    Objective*=10
  .........
+Leapms>

上面的结果显示, 目标值即最小节拍为10, 分配方案是: 工序1,5分配在工作站1, 工序2,6,8 分配在工作站2, 工序3,10 分配在工作站3, 工序4,7分配在工作站4, 工序9,11分配在工作站5。

第2类生产线平衡问题求解结果图示

---

 

第1类生产线平衡问题

由求解第2类生产线平衡问题知道，工作站数是5时，最小节拍是10。假设如果将节拍上限增加到10，问是否能够减小工作站数目。

第1类生产线平衡问题的建模

 第1类生产线平衡问题的数学模型见Ritt, M. , & Costa, A. M. . (2015)。

第1类生产线平衡问题的+Leapms模型

//第一类生产线平衡问题
minimize  sum{i=1,...,m}y[i]

subject to
    sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n
    y[i]c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j] | i=1,...,m
    x[i][b[k]]<=sum{j=1,...,i}x[j][a[k]]|i=1,...,m;k=1,...,ne
    y[i]<=y[i-1]|i=2,...,m

where
    m,n,ne are integers
    t[j] is a number | j=1,...,n
    e is a set
    a[k],b[k] is an integer|k=1,...,ne
    c is a number
    x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,m;j=1,...,n
    y[i] is a variable of binary|i=1,...,m

data
    m=6
    n=11
    c=12
    t={6 2 5 7 1 2 3 6 5 5 4}
    e={
      1 2
      1 3
      1 3
      1 5
      2 6
      3 7
      4 7
      5 7
      6 8
      7 9
      8 10
      9 11
      10 11
    }
data_relation
  ne=_$(e)/2
  a[k]=e[2k-1]|k=1,...,ne
  b[k]=e[2k]|k=1,...,ne

 

第1类生产线平衡问题的模型求解

 

Welcome to +Leapms ver 1.1(162260) Teaching Version  -- an LP/LMIP modeling and
solving tool.欢迎使用利珀 版本1.1(162260) Teaching Version  -- LP/LMIP 建模和求
解工具.

+Leapms>load
 Current directory is "ROOT".
 .........
        p1.leap
        p2.leap
 .........
please input the filename:p1
1:  //第一类生产线平衡问题
2:  minimize  sum{i=1,...,m}y[i]
3:
4:  subject to
5:      sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n
6:      y[i]c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j] | i=1,...,m
7:      x[i][b[k]]<=sum{j=1,...,i}x[j][a[k]]|i=1,...,m;k=1,...,ne
8:      y[i]<=y[i-1]|i=2,...,m
9:
10:  where
11:      m,n,ne are integers
12:      t[j] is a number | j=1,...,n
13:      e is a set
14:      a[k],b[k] is an integer|k=1,...,ne
15:      c is a number
16:      x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,m;j=1,...,n
17:      y[i] is a variable of binary|i=1,...,m
18:
19:  data
20:      m=6
21:      n=11
22:      c=12
23:      t={6 2 5 7 1 2 3 6 5 5 4}
24:      e={
25:        1 2
26:        1 3
27:        1 3
28:        1 5
29:        2 6
30:        3 7
31:        4 7
32:        5 7
33:        6 8
34:        7 9
35:        8 10
36:        9 11
37:        10 11
38:      }
39:  data_relation
40:    ne=_$(e)/2
41:    a[k]=e[2k-1]|k=1,...,ne
42:    b[k]=e[2k]|k=1,...,ne
43:
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
===========================================
number of variables=72
number of constraints=100
int_obj=0
===========================================

+Leapms>mip
relexed_solution=3.83333; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
 nbnode=117;  memindex=(12,12) zstar=5.22619; GB->zi=6
 nbnode=314;  memindex=(38,38) zstar=5.625; GB->zi=6
 nbnode=587;  memindex=(24,24) zstar=5.01852; GB->zi=5
 nbnode=861;  memindex=(26,26) zstar=4.25; GB->zi=5
 nbnode=1128;  memindex=(22,22) zstar=3.83333; GB->zi=5
 nbnode=1395;  memindex=(38,38) zstar=3.83333; GB->zi=5
 nbnode=1680;  memindex=(40,40) zstar=6; GB->zi=5
 nbnode=1959;  memindex=(46,46) zstar=6; GB->zi=5
 nbnode=2230;  memindex=(30,30) zstar=3.9246; GB->zi=5
 nbnode=2487;  memindex=(26,26) zstar=4.44444; GB->zi=5
 nbnode=2774;  memindex=(36,36) zstar=4.16667; GB->zi=4
 nbnode=2971;  memindex=(20,20) zstar=3.83333; GB->zi=4
 nbnode=3149;  memindex=(26,26) zstar=4.16667; GB->zi=4
 nbnode=3343;  memindex=(36,36) zstar=3.91667; GB->zi=4
 nbnode=3546;  memindex=(20,20) zstar=4.04167; GB->zi=4
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整数规划的最优解.非零变量值和最优目标值如下：
  .........
    x1_1* =1
    x1_2* =1
    x1_6* =1
    x2_5* =1
    x2_8* =1
    x2_10* =1
    x3_3* =1
    x3_4* =1
    x4_7* =1
    x4_9* =1
    x4_11* =1
    y1* =1
    y2* =1
    y3* =1
    y4* =1
  .........
    Objective*=4
  .........
+Leapms>

结果显示工作站数可减少到4。分配方式如下面的图示。

第1类生产线平衡问题求解结果图示

 

---

 

参考文献

[1] Jackson, J. R. . (1956). A computing procedure for a line balancing problem. Management Science, 2(3), 261-271.

[2] Ritt, M. , & Costa, A. M. . (2015). Improved integer programming models for simple assembly line balancing, and related problems. International Transactions in Operational Research, 19(8), 455-455.