关于Topsort

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了关于Topsort相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Long time no see.

 

拓扑排序

英文名称:Topological-sort

别称:toposort or  topsort

 

拓扑排序是干什么的呢

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任意一对顶点u和v,若边(u,v)∈E(G),则u在线性序列中出现在v之前。通常,这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列,简称拓扑序列。简单的说,由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序,这个操作称之为拓扑排序。

以上来自360百科

 

看明白了吗,反正我是不想看

正题

首先,我们由一个小问题引入。

有这么一群小黄人,小红爱着小绿,她得亲眼看着小绿吃完饭她才会安心吃饭,

而这个时候,小黄也爱着小绿,他也要亲眼看着小绿把饭吃完她才会安心。

同时,小蓝爱着小红和小黄,她得亲眼看着小红和小黄吃完饭她才可以吃饭,

而小紫是个基佬,他不爱小红,不爱小黄,不爱小蓝,也不爱小绿,正因为他是基佬所以他对小红小黄毫无威胁性,

于是小紫可以同小绿一起吃饭,当然也不可以不。

那么最终,大家吃饭的顺序是怎样的呢。 

形象一点,画个图技术分享图片

 

也许对于一些大佬们他们可能会想:这个sb题!这不是分分钟秒切的事情吗!

 我:爆搜??

显然,

数据大了就不行了。

们首先讲的,是Kahn算法

其算法主要流程如下:

1.从图中找到一个入度为零的点,并输出

2.在图中删去和这个点相连的所有边,再重复1的操作

3.一直重复1.2的操作一直到图中不再有入度不为零的点为止。

当然,如果图中有环那是无解的。

那么它的时间复杂度是多少呢? 

证明:初始化入度为0的集合需要遍历整张图,检查每个节点和每条边,对该集合进行操作,又需要遍历整张图中的,每条边,则复杂度为O(E+V);

代码:

#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1000 + 10;
const int INF = 1e9 + 7;
int T, n, m, num[maxn];
vector<int> vis[maxn], v;
stack<int> s;
void topo() {
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(num[i] == 0) s.push(i);
    while(!s.empty()) {
        int now = s.top();
        v.push_back(now);
        s.pop();
        for(int j = 0; j < vis[now].size(); j++) 
            if((--num[vis[now][j]]) == 0)
                s.push(vis[now][j]);
    }
    if(v.size() != n) cout << "NO solution" << 
;
    else for(int i = 0; i < v.size(); i++) cout<<v[i]<<" ";
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0;  i <= n; i++) vis[i].clear();
    memset(num, 0, sizeof(num));
    for(int i = 0, u, v; i < m; i++) 
        scanf("%d%d", &u, &v), vis[u].push_back(v), num[v]++;
    topo();
    return 0;
}

现在我们再来讲基于DFS的算法

需要注意的是,将顶点添加到结果anst中的时机是在vis方法即将退出之时。

搜索嘛,实践略简单,但是理解上要下点功夫。

其关键在于为什么在vis方法的最后将该顶点添加到一个集合中,就能保证这个集合就是拓扑排序的结果?

因为添加顶点到集合中的时机是在dfs方法即将退出之时,而dfs方法本身是个递归方法,只要当前顶点还存在边指向其它任何顶点,它就会递归调用dfs方法,而不会退出。因此,退出dfs方法,意味着当前顶点没有指向其它顶点的边了,即当前顶点是一条路径上的最后一个顶点。

那么问题来了,这个方法对吗? 

证明:

考虑任意的边,当调用dfs(v)的时候,有三种情况:

  • dfs(w)还没有被调用,即所要走的点还未走,此时会调用dfs(w),然后当dfs(w)返回之后,dfs(v)才会返回
  • dfs(w)已经被调用并返回了,即w已经被mark
  • dfs(w)已经被调用但是在此时调用dfs(v)的时候还未返回

需要注意的是,以上第三种情况在拓扑排序的场景下是不可能发生的,因为如果情况3是合法的话,就表示存在一条由wv的路径。而现在我们的前提条件是由vw有一条边,这就导致我们的图中存在环路,从而该图就不是一个有向无环图(DAG),而我们已经知道,非有向无环图是不能被拓扑排序的。

那么考虑前两种情况,无论是情况1还是情况2w都会先于v被添加到结果列表中。所以边v->w总是由结果集中后出现的顶点指向先出现的顶点。为了让结果更自然一些,可以使用栈来作为存储最终结果的数据结构,从而能够保证边v->w总是由结果集中先出现的顶点指向后出现的顶点。

时间复杂度:

证明:DFS遍历一遍的时间为O(E+V),而记录结果的时间花费为O(1),所以总时间复杂度为O(E+V)

代码:

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000 + 10;
const int INF = 1e9 + 7;
int n, m, dis[maxn], ans[maxn], t;
vector<int> vis[maxn];
bool dfs(int u) {
    dis[u] = -1;
    for(int i = 0; i < vis[u].size(); i++) {
        int v = vis[u][i];
        if(dis[v] < 0) return false;
        else if(!dis[v] && !dfs(v)) return false;
    }
    dis[u] = 1, ans[--t] = u;
    return true;
}
bool toposort() {
    t = n;
    memset(dis, 0, sizeof(dis));
    for(int u = 1; u <= n; u++)
        if(!dis[u]) if(!dfs(u)) return false;
    return true;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0;  i <= n; i++) vis[i].clear();
    for(int i = 0, u, v; i < m; i++)
        scanf("%d%d", &u, &v), vis[u].push_back(v);
    if(toposort()) for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ",ans[i]);
    else puts("NO solution");
    return 0;
}

等一朵花开,换一世情怀

以上是关于关于Topsort的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

图论——topsort

SGU 515 Dij+Topsort

关于代码片段的时间复杂度

hdu 2647 Reward (topsort)

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拓扑排序 topsort详解