后缀自动机

Posted 2021-01-24 shanxieng

我就抄抄论文好了

有限状态自动机其实是一个单词的有向无环图，图中包含了一个起始状态和一个结束状态集合，有向图的边上赋有权值。有限状态自动机的功能是识别字符串。

自动机由五个部分组成，alpha：字符集，state：状态集合，init：初始状态，end：结束状态集合，trans：状态转移函数。

不妨令trans(s,ch)表示当前状态是s，在读入字符ch之后，所到达的状态。

如果trans(s,ch)这个转移不存在，为了方便，不妨设其为null，同时null只能转移到null。

null表示不存在的状态。

同时令trans(s,str)表示当前状态是s，在读入字符串str之后，所到达的状态。

那么自动机A能够识别的字符串就是所有使得(trans(init,str)subset end)的字符串str，令其为Reg(A)。

从状态s能够识别的字符串就是所有使得(trans(s,str)subset end)的字符串str，令其为Reg(s)。

后缀自动机就是能够识别一个字符串的全部后缀的自动机，而如果直接构建后缀自动机复杂度将达到(O(n^2))。

最简状态后缀自动机就是状态数最少的能够完成上述功能的自动机，其状态数为线性。假设我们得到了这个最简状态后缀自动机，简记为SAM。

我们令ST(str)表示trans(init,str)，就是初始状态读入str后能够到达的状态。

令母串为S，它的后缀集合为Suf，它的连续字串集合为Fac。

从位置a开始的后缀为Suffix(a)。

S[l,r)表示S中[l,r)这个区间构成的子串。下表从0开始。

对于一个字符串s，如果s不属于Fac，那么ST(s)=null。因为在s后面加上任何字符都不是S的后缀了，我们要求状态最少，所以没有理由浪费空间。

同时如果s属于Fac，那么ST(s)!=null，因为s既然是S的子串，那在s的后面加上一些子串，一定可以构成一个后缀。

我们不能对每个子串都新建一个状态，因为这样状态数是n方的。

我们考虑ST(a)能识别哪些字符串，即为Reg(ST(a))。

字符串x能被自动机识别，当且仅当(xin Suf)。

ST(a)能够识别字符串x当且仅当(axin Suf)，因为已经读入了a了。

也就是说ax是S的后缀，所以x也是S的后缀。Reg(ST(a))是一些后缀集合。对于一个状态s，我们唯一关心的就是Reg(s)。