算法的时间复杂度

Posted 2021-01-24 woniuniu

1.算法时间复杂度的定义

 

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。 它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间 复杂度，简称为-时间复杂度。其中f(n) 是问题规模n的某个函数。

这样用O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。一般情况，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

 

2.算法时间复杂度例子

 

2.1 常数阶

 

public class Agr {

    public static void main(String args[]) {
        //执行一次
        int m =1;
        //执行一次
        int n =2;
        //执行一次
        int mn = m*n;
        //执行一次
        System.out.println(mn);

    }

}

这个算法的运行次数是f(n)=4,依据推导方法，常数项全部变为1,那么这个算法的时间复杂度即为O(1)。事实上，这种与问题的多少（n的多少），执行恒定的算法，我们称之为O(1)的时间复杂度，简称常数阶。

 

2.2 线性阶

 

要确定某个算法的阶次，我们需要确定某个特定语句或某个语句运行的次数。因此，分析算法的时间复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

public class Agr {

    public static void agrn(int n) {
        //循环n次
        for(int i=0;i<n;i++){
            System.out.println(n);
        }
    }

}

此段代码的时间复杂度即为O(n),因为循环体中的代码必须要执行n次。

 

2.3 对数阶

 

public class Agr {

    public static void agrn(int n) {
        //循环Log2 n次
        int count = 1;
        while (count < n) {
            count = count * 2;
            System.out.print(n);
        }
    }

}

由于每次count*2 ，离n更近一些，也就是有多少个2相乘后大于n，便退出循环。2^x=n 得到 x=log₂n。所以此循环的时间复杂度为O(logn)

 

2.4 平方阶

 

public class Agr {

    public static void agrn(int n) {

        //循环n次
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //循环n次
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.println(n);
            }
        }
    }

}

此为一个循环嵌套算法，内外层循环皆为n，故总循环次数为n²，所以此算法时间复杂度为O(n²).

 

2.5 推导出的平方阶

 

public class Agr {

    public static void agrn(int n) {
        //循环n+n-1+n-2+....+1
        for (int i = 0; i < n; i++) {

            for (int j = i; j < n; j++) {
                System.out.println(n);
            }
        }
    }

}

由于内层嵌套循环中j=i, 当i=0时， 循环n次，i=1时，循环n-1 ... 以此类推，总的循环次数为 n + (n-1) + (n-2) + ...... + 1 = n(n+1)/2 = n²/2 + n/2 。这时候要用到大O阶的推导方法，没有加法常数不考虑，只保留最高项， 故还剩 n²/2，另外去掉此项相乘的常数1/2,最后这个算法的时间复杂度为O(n²).

 

3. 推导大O阶的方法总结

 

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数，无常数的不考虑。

2.只保留最高阶项。

3.最高阶项存在且不是1，那么去掉与此项相乘的常数。

按照此3项方法，推导出来的结果，即大O阶。

 

4. 常见算法时间复杂度所消耗时间的大小排列

 

O(1) < O(logn)<O(n)<O(n²)

 

5. 最坏情况

 

当我们在查找n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，时间复杂度为O(1),最坏的情况遍历完整个数组才找到，时间复杂度为O(n)。 除非特别说明，我们一般指的运行时间，都是最坏情况下的运行时间，时间复杂度也是最坏情况下的时间复杂度。