二叉树介绍

Posted 2021-01-23 starrk-01

二叉树可以用来做什么？

答：可以搜索、排序

可是，排序有快速排序、归并排序，查找有二分法、直接遍历等，那么为什么要用二叉树呢？

二叉树确实在实际运用中比较少，因为有更高级的树，但是二叉树作为一种最基本最典型的排序树，是研究其他树的基础。

我们知道，在有序数组中，可以快速找到特定的值；但是在有序数组内插入一个新数据项，或者删除数据项，需要费时的移动所有位置改变的数据项，所以在做插入和删除操作时，不该选用有序数组。

另一方面，链表中可以快速添加和删除某个数据项，但是在链表中查找数据不容易，必须从头开始访问链表的每一个数据项，直到找到该数据为止，过程很慢。

树这种数据结构，技能像链表那样快速插入和删除，又能像有序数组那样快速查找。这里主要实现一种特殊的树--二叉（搜索）树。

二叉（搜索）树有如下特点：

1. 一个子节点的关键字值小于这个节点，右子节点的关键字值大于或者等于这个节点。

2. 插入一个节点需要根据这个规则进行插入。

3. 删除节点时，二叉搜索树最复杂的操作，但是删除节点在很多树中的应用又非常重要，所以详细研究并总结如下特点。

  1）删除节点要从查找要删的节点开始入手，首先找到节点，这个要删除的节点可能有三种情况需要考虑：

　　a. 该节点是叶节点，没有子节点；

　　b. 该节点有一个子节点；

　　c. 该节点有2个子节点；

　第一种最简单，第二种也比较简单，第三种就相当复杂了。下面分析这三种删除情况：

一、要删除叶节点，只需要改变该节点的父节点对应子字段的值即可，由指向该节点改为 null 就可以了。垃圾回收器会自动回收叶节点，不需要自己手动删掉。

二、当节点有一个子节点时，这个节点只有两个连接：连向父节点和连向它唯一的子节点。需要从这个序列中剪断这个节点，把它的子节点直接连到它的父节点上即可，这个过程要求改变父节点适当的引用（左子节点还是右子节点），指向要删除节点的子节点即可。

三、这种情况最复杂，如果要删除有两个子节点的节点，就不能只用它的一个子节点代替它，比如要删除节点25，如果用35取代它，那35的左子节点是15呢还是30？

                                                                                                       

因此需要考虑另一种方法，寻找它的中序后继来代替该节点。下图显示的就是要删除节点用它的后继代替它的情况，删除后还是有序的。（这里还有更麻烦的情况，即它的后继自己也有右子节点，下面再讨论。）

                                                                                                       

那么如何找后继节点呢？首先得找到要删除的节点的右子节点，它的关键字值一定比待删除节点的大。然后转到待删除节点右子节点的左子节点那里（如果有的话），然后到这个左子节点的左子节点，以此类推，顺着左子节点的路径一直向下找，这个路径上的最后一个左子节点就是待删除节点的后继。如果待删除节点的右子节点没有左子节点，那么这个右子节点本身就是后继。寻找后继的示意图如下：

                                                                                               

 

 找到了后继节点，现在开始删除了，先看第一种情况，后继节点是delNode右子节点的做后代，这种情况要执行以下四个步骤：

• 把后继父节点的leftChild字段置为后继的右子节点；

• 把后继的rightChild字段置为要删除节点的右子节点；

• 把待删除节点从它父节点的leftChild或rightChild字段删除，把这个字段置为后继；

• 把待删除的左子节点移除，将后继的leftChild字段置为待删除节点的左子节点。

如下图所示：

                                                                                         

如果后继节点就是待删除节点的右子节点，这种情况就简单了，因为只需要把后继为跟的子树移到删除的节点的位置即可。如下图所示：

                                                                                         

看到这里，就会发现删除时相当棘手的操作。实际上，因为它非常复杂，一些程序员都尝试着躲开它，他们在Node类中加了一个Boolean字段来标识该节点是否已经被删除，在其他操作之前会先判断这个节点是不是已经删除了，这样删除节点不会改变树的结构。当然树中还保留着这种已经删除的节点，对存储造成浪费，但是如果没有那么多删除的话，这也不失为一个好方法。

另外二叉树有三种遍历方式：前序、中序和后序。这个比较简单，直接看下代码即可。

下面手写个二叉搜索树的  1 public class BinaryTree {

  1     private BNode root;   //根节点
  2      
  3     public BinaryTree() {
  4         root = null;  
  5     }    
  6    
  7     //二叉搜索树查找的时间复杂度为O(logN)
  8     public BNode find(int key) { //find node with given key
  9       BNode current = root;
 10       while(current.key != key) {
 11         if (key < current.key) {
 12              current = current.leftChild;    
 13          }else {
 14              current = current.rightChild;
 15          }
 16          if(current == null) {
 17              return null;
 18          }    
 19      }
 20      return current; 
 21    }
 22 
 23    // 插入节点
 24    public void insert(int key, double value) {
 25        BNode newNode = new BNode();
 26        newNode.key = key;
 27        newNode.data = value;
 28        if(root == null) { //if tree is null
 29             root = newNode;
 30         }
 31         else {
 32             BNode current = root;
 33             BNode parent;
 34             while(true) {
 35                 parent = current;
 36                 if(key < current.data) { //turn left
 37                     current = current.leftChild;
 38                     if(current == null) {
 39                         parent.leftChild = newNode;
 40                         newNode.parent = parent;
 41                         return;
 42                     }
 43                 }else { //turn right
 44                     current = current.rightChild;
 45                     if(current == null) {
 46                         parent.rightChild = newNode;
 47                         newNode.parent = parent;
 48                         return;
 49                     }
 50                 }
 51             }
 52         }
 53     }
 54  
 55 　　//遍历二叉树    
 56 　　public void traverse(int traverseType) {
 57      switch (traverseType){
 58         case 1: System.out.println("Preorder traversal:");
 59                 preOrder(root);//前向遍历
 60                 break;
 61         case 2: System.out.println("Inorder traversal:");
 62                 inOrder(root);//中向遍历
 63                 break;
 64         case 3: System.out.println("Postorder traversal:");
 65                 postOrder(root);//后向遍历
 66                 break;
 67         default: System.out.println("Inorder traversal:");
 68                 inOrder(root);
 69                 break;
 70         }
 71         System.out.println("");
 72     }
 73 
 74     
 75 　　//前向遍历
 76 　　private void preOrder(BNode localRoot) {
 77     　　if(localRoot != null) {
 78          　　System.out.print(localRoot.data + " ");
 79          　　preOrder(localRoot.leftChild);
 80          　　preOrder(localRoot.rightChild);
 81     　　}
 82 　　}
 83    
 84 　　//中向遍历
 85 　　private void inOrder(BNode localRoot) {
 86    　　if(localRoot != null) {
 87        　　inOrder(localRoot.leftChild);
 88        　　System.out.print(localRoot.data + " ");
 89        　　inOrder(localRoot.rightChild);
 90    　　}
 91 　　}
 92 
 93     
 94 　　//后向遍历
 95 　　private void postOrder(BNode localRoot) {
 96    　　if(localRoot != null) {
 97         　　postOrder(localRoot.leftChild);
 98         　　postOrder(localRoot.rightChild);
 99         　　System.out.print(localRoot.data + " ");
100     　　}
101 　　}
102 
103 　　//查找最小值
104     
105 　　/*根据二叉搜索树的存储规则，最小值应该是左边那个没有子节点的那个节点*/
106     
107 　　public BNode minNumber() {
108    　　BNode current = root;
109    　　BNode parent = root;
110    　　while(current != null) {
111         　　parent = current;
112         　　current = current.leftChild;
113     　　}   
114     　　return parent;
115 　　}
116    
117 　　//查找最大值
118     
119 　　/*根据二叉搜索树的存储规则，最大值应该是右边那个没有子节点的那个节点*/
120     
121 　　public BNode maxNumber() {
122         BNode current = root;
123         BNode parent = root;
124         while(current != null) {
125             parent = current;
126             current = current.rightChild;
127         }   
128         return parent;
129     }
130 
131     
132　　 //删除节点
133     
134 　　/*
135      * 删除节点在二叉树中是最复杂的，主要有三种情况：
136      * 1. 该节点没有子节点（简单）
137      * 2. 该节点有一个子节点（还行）
138      * 3. 该节点有两个子节点（复杂）
139      * 删除节点的时间复杂度为O(logN)
140      */
141     
142 　　public boolean delete(int key) {
143         BNode current = root;
144 //        BNode parent = root;
145         boolean isLeftChild = true;
146 　　　　 if(current == null) {
147            return false;
148         }
149         //寻找要删除的节点
150         while(current.data != key) {
151 //            parent = current;
152             if(key < current.key) {
153                 isLeftChild = true;
154                 current = current.leftChild;
155             }
156             else{
157                 isLeftChild = false;
158                 current = current.rightChild;
159             }
160             if(current == null) {
161                 return false;
162             }
163         }
164         //找到了要删除的节点，下面开始删除
165         //1. 要删除的节点没有子节点,直接将其父节点的左子节点或者右子节点赋为null即可
166         if(current.leftChild == null && current.rightChild == null) {
167             return deleteNoChild(current, isLeftChild);
168         }
169 　　　　　//3. 要删除的节点有两个子节点
170         else if(current.leftChild != null && current.rightChild != null) {
171             return deleteTwoChild(current, isLeftChild);
172         }
173 
174         //2. 要删除的节点有一个子节点，直接将其砍断，将其子节点与其父节点连起来即可，要考虑特殊情况就是删除根节点，因为根节点没有父节点
175         else{
176             return deleteOneChild(current, isLeftChild);
177         }
178 
179     }
180 
181     
182 　　public boolean deleteNoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
183         if(node == root) {
184            root = null;
185             return true;
186         }
187         if(isLeftChild) {
188             node.parent.leftChild = null;
189         }
190         else{
191             node.parent.rightChild = null;
192         }
193         return true;
194     }
195 
196     
197 　　public boolean deleteOneChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
198         if(node.leftChild == null) {
199             if(node == root) {
200                 root = node.rightChild;
201                 node.parent = null;
202                 return true;
203             }
204             if(isLeftChild) {
205                 node.parent.leftChild  = node.rightChild;
206             }
207             else{
208                 node.parent.rightChild = node.rightChild;
209             }
210             node.rightChild.parent = node.parent;
211         }
212         else{
213             if(node == root) {
214                 root = node.leftChild;
215                 node.parent = null;
216                 return true;
217             }
218             if(isLeftChild) {
219                 node.parent.leftChild  = node.leftChild;
220             }
221             else{
222                 node.parent.rightChild = node.leftChild;
223             }
224             node.leftChild.parent = node.parent;
225         }
226         return true;
227     }
228 
229     
230 　　public boolean deleteTwoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {
231         BNode successor = getSuccessor(node);
232         if(node == root) {
233             successor.leftChild = root.leftChild;
234             successor.rightChild = root.rightChild;
235             successor.parent = null;
236             root = successor;
237         }
238         else if(isLeftChild) {
239             node.parent.leftChild = successor;
240         }
241         else{
242             node.parent.rightChild = successor;
243         }
244         successor.leftChild = node.leftChild;//connect successor to node‘s left child
245         return true;
246     }
247 
248     //获得要删除节点的后继节点（中序遍历的下一个节点）
249     public BNode getSuccessor(BNode delNode) {
250         BNode successor = delNode;
251         BNode current = delNode.rightChild;
252         while(current != null) {
253             successor = current;
254             current = current.leftChild;
255         }
256         if(successor != delNode.rightChild) {
257             successor.parent.leftChild = successor.rightChild;
258             if(successor.rightChild != null) {      
259                 successor.rightChild.parent = successor.parent;//删除后续节点在原来的位置
260             }
261             successor.rightChild = delNode.rightChild;//将后续节点放到正确位置，与右边连上
262         }
263         return successor;
264     }
265 }   
266 
267 class BNode {
268     public int key;
269     public double data;
270     public BNode parent;
271     public BNode leftChild;
272     public BNode rightChild;
273 
274     public void displayNode() {
275         System.out.println("{" + key + ":" + data + "}");
276     }
277 }