Openjudge — 7624 山区建小学

Posted 2021-01-23 tham

问题描述

政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

输入

第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。
例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3
表示在10个村庄建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，…，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

样例输入

10 2
3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出

18
来源
元培-From Whf

解题思路：

动态规划来解决，这里需要一个辅助的数组dist，dist[i][j]表示在从i到j这一段区间建一所小学，i到j的村庄都到这个学校来上学的路程和。
状态表达：f[i][j]表示前i个村庄建j所学校，到里那个村庄最近的学校上学的路程和。
状态转移：f[i][j] = std::min(f[i][j],f[k][j-1]+dist[k+1][i])，也就是：

for(int i = 1;i<=n;i++)
        for(int j = 1;j<i;j++)
            for(int k = 1;k<i;k++)
                f[i][j] = std::min(f[i][j],f[k][j-1]+dist[k+1][i]);   

状态数量：n^2
转移代价：O（n）
时间复杂度：O（n^3）
空间复杂度：O（n^2）

还有一个关键点，就是有关如何求dist数组的，其实，我们可以发现，在i到j村庄里建小学，选i到j村庄的路程的中间位置村庄，一定是最优的。画个图你就能发现了。
如何快速求dist呢，其实，dist[i][j]等于dist[i][j-1]+num[j]-num[i+j]/2的，建议画个图。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>

int num[1001],dist[1001][1001],f[1001][1001];
int main()
{
    int n,m;
    std::cin>>n>>m;
    for(int i = 2;i<=n;i++){std::cin>>num[i];num[i] += num[i-1];}
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        for(int j = i;j<=n;j++)
            dist[i][j] = dist[i][j-1]+num[j]-num[(i+j)/2];
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i = 1;i<=n;i++)f[i][1] = dist[1][i];
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        for(int j = 1;j<i;j++)
            for(int k = 1;k<i;k++)
                f[i][j] = std::min(f[i][j],f[k][j-1]+dist[k+1][i]);
    std::cout<<f[n][m];
    return 0;
}