【题型一】直线分割平面
在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。
分析： 
当添加第N条，为了使平面最多， 则第N条直线要与前面的N-1条直线都相交，且没有任何三条直线相交一个点。
则添加第N条直线会多N-1个交点。由于每增加N个交点，就增加N+1个平面，所以添加第N条直线来会在之前的基础上增加N个平面，用F[i]表示i条直线能把平面切分成的个数。
F[1]=2;
F[n]=F[n-1]+n;
递推的F[n]=1+n*(n+1)/2
【题型二】平面分割空间（HDU 1290）
分析：由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。
试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？
当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。
要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。
即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。
（g（n）为（1）中的直线分平面的个数）此平面将原有的空间一分为二，
则最多增加g（n-1）个空间。
故：f(n)=f(n-1)+g(n-1) ( ps: g(n)=n(n+1)/2+1 )
f(n-1)=f(n-2)+g(n-2)
……
f(2)=f(1)+g(1)
因为，f(1)=g(1)=2
所以，f(n)=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）
=[ (1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2) - (1+2+3+……+n ) ]/2 + n+ 1
=(n^3+5n)/6+1
【题型三】折线分割平面（HDU 2050）
平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块? 
分析先以问题一作为基础，
再看每次增加两条相互平行的直线的情况。 
根据题型一分析可以知道
当第N次添加时，前面已经有2N-2条直线了，所以第N次添加时，第2N-1条直线和第2N条直线都各能增加2*（n-1）+1 个平面。
所以第N次添加增加的面数是2[2(n-1) + 1] = 4n - 2 个。因此，总面数应该是
1 + 4n(n+1)/2 - 2n = 2n2 + 1
如果把每次加进来的平行边让它们一头相交
则平面1、3已经合为一个面，因此，每一组平行线相交后，就会较少一个面，
所以所求就是平行线分割平面数减去N，为2n2 -n + 1.
利用上述总结公式f(n)=2n2 -n + 1
【题型四】圆形划分区域
题目：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，
且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
分析：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，
则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。
故： f(n)=f(n-1)+2*(n-1)
f(n-1)=f(n-2)+2*(n-2)
......
f(2)=f(1)+2*1
因为，f(1)=2
所以，f(n)=n^2-n+2
【拓展】
①：
说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢？
说明1：“Z”的两端应看成射线
说明2：“Z”的两条射线规定为平行的
分析：
设f(n)表示n个z字型折线至多平面划分数。
现在增加一条边a，和3n条线都相交，增加3n+1个区域。
再增加一条边b，与a平行，同样增加3n+1个区域。
最后增加一条边c，与已有的边都相交，增加3n+3个区域。又因为要与a，b形成锯齿形，所以又减去2*2个区域
所以得出递推式 f(n)=f(n-1)+9*(n-1)+1.
利用上述递推式总结为f(n)=9*n*(n-1)/2+n+1.
②（HDU 1249）：
用N个三角形最多可以把平面分成几个区域？
这时我们来回顾一下前3种情况
n 1 2 3
f(n) 2 8 20
不知道你们为了得到尽可能多的区域是如何去画这些三角形的，或许你会发现，画第n个三角形的时候，该三角形的一条边会穿过2(n-1)条边，这时，我们再来看看前3种情况，就会发现8=2+(2+2+2)，20=8+(4+4+4)，这增加的正好是3倍穿过的边数，即3*2(n-1)
于是，我们得到f(n)=f(n-1)+3*2(n-1)=f(n-1)+6(n-1)。
这样我们便可以利用累加法求出f(n)=3*n*n-3*n+2。
其实，对此类题都有一固定做法：
对于二维空间来说：f(x)=ax^2+bx+c;
对于三维空间：f(x)=ax^3+bx^2+cx+d;
只要通过带入x的值，求出a、b、c、d这些未知量即可得到公式。
以上内容均摘录自网上