凸包总结

Posted harry-bh

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了凸包总结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

用不严谨的话来讲,给定二维平面上的点集,凸包就是将最外层的点连接起来构成凸多边形,它能包含点集中所有的点。

构造方法

需要牢记的是

(a × b>0)(a)(b) 的顺时针方向

(a × b=0)(a)(b) 共线

(a × b>0)(a)(b) 的逆时针方向

①极角排序

选择一个点作为基础点,进行极角排序。

可以通过比较叉积的方式进行极角排序,若叉积相同,则离基础点近的点优先级高。

Point Base;
bool cmp_ang(const Point &a,const Point &b)
{
    int tmp=dcmp(cross(a-Base,b-Base));
    if(tmp==0)return dist(Base,a)<dist(Base,b);
    else return tmp>0;
}

②构造凸包

从左下逆时针构造凸包,若这样构造那么只需要判断,栈顶的点,与当前加入的点,和栈中第二个点构成的向量,那个更靠外侧(那个处于另一个的顺时针方向),若当前加入的点更优,就将之前的点出栈。

时间复杂度 (O(n))

for(int i=1;i<=num;i++) 
if(s[i]<s[1])swap(s[1],s[i]);
sort_point(s,2,num,s[1]);
cnt=2;
node[1]=s[1],node[2]=s[2];
for(int i=3;i<=num;i++)
{
    while(cnt>=2&&dcmp(cross(node[cnt]-node[cnt-1],s[i]-node[cnt-1]))<=0)cnt--;
    node[++cnt]=s[i];
}

③判断一个多边形是否是凸包

方法一:根据多边形的点构造一个凸包,看是否与原多边形相等。

方法二:顺时针,或者逆时针检查每两条线段的叉积的正负情况,如果有正有负,则不是凸包。

bool is_convex_hull()
{
    bool s[3];
    memset(s,0,sizeof(s));
    for(int i=1;i<cnt-1;i++)
    {
        s[dcmp(cross(node[i+1]-node[i],node[i+2]-node[i]))+1]=true;
        if(s[0]&&s[2])return false;
    }
    s[dcmp(cross(node[cnt-1]-node[cnt-2],node[cnt]-node[cnt-2]))+1]=true;
    s[dcmp(cross(node[cnt]-node[cnt-1],node[1]-node[cnt-1]))+1]=true;
    s[dcmp(cross(node[1]-node[cnt],node[2]-node[cnt]))+1]=true;
    if(s[0]&&s[2])return false;
    return true;
}

④判断一个点是否在凸包内部

方法一(只适用于凸包):判断点是否在凸包每个角的中间(运用叉积判断)。

方法二(适用于所有多边形):引一条射线,判断射线与多边形交点个数,若为奇数个则,在多边形内部,否则在边上,或者外面。

int is_in_polygon(Point a)
{
    Line ray;//射线
    ray.s=a;
    ray.e=Vector(-100000000.0,a.y);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        Point s1=edge[i].s,s2=edge[i].e;
        if(on_seg(a,edge[i]))return 0;//若a在边上返回0
        if(dcmp(s1.y-s2.y)==0)continue;//若平行无视这条边
        if(on_seg(s1,ray))//若上端点在射线上取上端点
        {
            if(dcmp(s1.y-s2.y)>0)ans++;
        }
        else if(on_seg(s2,ray))//同理
        {
            if(dcmp(s2.y-s1.y)>0)ans++;
        }
        else if(is_cross(ray,edge[i]))ans++;//判断线段与线段是否相交
    }
    if(ans%2==1)return 1;
    return -1;
}

里面用到了两个函数现在给出它们的实现方法

判断点是否在线段上,首先判断点是否在直线上,然后判断点的左边范围,是否符合线段的条件

bool on_seg(Point a,Segment a1)
{
    Point b=a1.s,c=a1.e;
    return dcmp(cross(b-a,c-a))==0&&min(b.x,c.x)<=a.x&&a.x<=max(b.x,c.x)&&min(b.y,c.y)<=a.y&&a.y<=max(b.y,c.y);
}

首先检查点的跨立情况,然后处理特殊情况(两条直线重合)

事实证明快速排斥,只是用来加快判断速度(对正确性并无影响)

如果说是规范相交去掉后面的四个判断(判断两条直线重合)

bool is_cross(Line a1,Line a2)
{
    Point a=a1.s,b=a1.e,c=a2.s,d=a2.e;
    int c1=dcmp(cross(b-a,c-a));
    int c2=dcmp(cross(b-a,d-a));
    int o1=dcmp(cross(d-c,b-c));
    int o2=dcmp(cross(d-c,a-c));
    if(c1*c2<=0&&o1*o2<=0)return true;
    if(c1==0&&on_seg(c,a1))return true;
    if(c2==0&&on_seg(d,a1))return true;
    if(o1==0&&on_seg(b,a2))return true;
    if(o2==0&&on_seg(a,a2))return true;
    return false;
}

⑤判断圆是否在凸包内部

先判断圆心是否在凸包内部,然后判断圆心到凸包每条边的最近点的距离是否小于圆的半径。

bool circle_is_in_convex_hull(Circle a)
{
    if(is_in_polygon(a.O)<0)return false;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        if(dcmp(dist(a.O,get_nearest_point_on_segment(a.O,edge[i]))+eps-a.R)<0)return false;
    return true;
}

下面给出求点离线段的最近点的函数

求最近点有三种情况

最近点为左端点

最近点为右端点

最近点在线段中间

我们可以通过点乘,求出交点到左端点的距离,占线段总长度的比例。

dot(a-b,c-b)/dot(c-b,c-b)即为 (a·b) =(cos heta|a||b|/(|b|^2)=cos heta|a|:|b|)

(cos heta|a|) 的意义不言而喻。

Point get_nearest_point_on_segment(Point a,Line a1)
{
    Point b=a1.s,c=a1.e;
    double t=dot(a-b,c-b)/dot(c-b,c-b);
    if(dcmp(t)!=-1&&dcmp(1-t)!=-1)return Vector(b.x+(c.x-b.x)*t,b.y+(c.y-b.y)*t);
    if(dist(a,b)<dist(a,c))return b;
    return c;
}

⑥动态凸包

运用splay维护凸包(待填坑,若想了解,可以发表评论)

以上是关于凸包总结的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

凸包总结

codevs1298, hdu1392 (凸包模板)

计算几何——凸包问题

python常用代码片段总结

BootStrap有用代码片段(持续总结)

咕咕咕(凸包)