代数结构半群与群——定义与性质

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了代数结构半群与群——定义与性质相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、代数结构

代数运算

代数运算的定义:设A是非空集合,n∈I+,函数f:An->A称为A上的一个n元运算,n称为该运算的,特别的,A中的每个元素称为A上的0元运算

 

代数运算的性质

封闭性:设°是集合A上的n元运算,S是A的非空子集。若a1,a2,..,an∈S,有°(a1,a2,...,an)∈S,则称S关于运算°是封闭的。

可交换的:设*是集合A上的二元运算,若∀a,b∈A,有a*b = b*a,则称*是可交换的,或称*满足交换律

可结合的:设*是集合A上的二元运算,若∀a,b,c∈A,有(a*b)*c = a*(b*c),则称*是可结合的,或称满足结合律

分配律:设*和°是集合A上的二元运算。若∀a,b,c∈A,有a*(b°c) = (a*b)°(a*c),则称*关于°是左可分配的。若∀a,b,c∈A,有(b°c)*a = (b*a)°(c*a),则称*关于°是右可分配的

    若*关于°既是左可分配又是右可分配的,则称*关于°满足分配律。(由这个定义可以看出,在分配律中,*和°地位是相等的

 

 

定理:设*是集合A上可结合的二元运算,则∀n∈I+,∀a1,a2,..,an∈A,表达式a1*a2*..*an经过任意加括号而计算的结果不变。

定理:若*是集合A上可结合的二元运算,则∀a∈A及∀m,n∈I+,有am * an = am+n,(am)n = amn.

特殊元素的定义与性质

左幺元:若存在ョel∈A,使得∀a∈A,有el * a = a,则称el为关于*的左单位元,也称左幺元

右幺元:若存在ョer∈A,使得∀a∈A,有a * er = a,则称er为关于*的左单位元,也称右幺元

幺元:若存在ョe∈A,使得∀a∈A,有e * a = a * e =  a,则称e为关于*的单位元,也称幺元

左逆元:若存在ョal∈A,使得∀a∈A,有al * a = e,则称al为关于*的左逆元

右逆元:若存在ョar∈A,使得∀a∈A,有a * ar = e,则称ar为关于*的右逆元

逆元:若存在ョa’∈A,使得∀a∈A,有a’ * a = a * e =  a,则称a’为关于*的逆元

消去率:设*是集合A上的二元运算,a∈A。若∀x,y∈A,a*x = a *y ⇒ x=y,则称a关于*是左可约的。若∀x,y∈A,x*a =  y*a ⇒ x=y,则称a关于*是右可约的。若∀a∈A,a关于*都是可约的,则称*满足消去率。

 

定理:设*是集合A上的二元运算,el和er分别是关于*的左、右单位元,则el = er,且它是关于*的唯一单位元。同理有零元存在必唯一、逆元存在必唯一。

代数系统

定义:设S为非空集合,*1,*2,...,*n为S上的代数运算,则称<S,*1,*2,...,*n>为一个代数系统或代数结构,并称S为该代数系统的定义域。若S为有限集,则称<S,*1,*2,...,*n>为有限代数系统,并称|S|为该代数系统的阶.

运算表

各种性质在运算表中的规律:

  1. 封闭性:运算表中每个元素都属于A
  2. 可交换性:所有元素关于主对角线对称
  3. 具有等幂性:主对角线上的每个元素与所在行(列)的表头元素相同
  4. 有零元:该元素所在的行和列中的元素都与该元素相同
  5. 有单位元:该元素所在的行和列中的元素分别与运算表的行和列表头元素相同

 

二、半群与亚群

半群和亚群的定义

半群:设<S,·>为代数系统,若·是可结合的二元运算,则称<S,·>为半群。

亚群:设<M,·>为半群,若关于·有单位元e,则称<M,·>为亚群,也称含幺子群或者独异点。(在强调单位元时,可记作<M,·,e>)

可交换半群(亚群):若半群(亚群)<S,·>中的运算·是可交换的,则称<S,·>为可交换半群(亚群)。

半群和亚群的性质

定理:设<S,·>是一个半群,如果S是一个有限群,则必有a∈A,使得a*a=a

证:由于<S,·>是半群,对于任意x∈A,考察序列x,x2,..,xn+1,...,必有xi = xj,1 ≤ i <  j,令j - i = l,

(a)若j > 2i,记a = xj-i,则有a * a = a

(b)j ≤ 2i,存在正整数m,使得m*l > i,于是xi = xj+m*l,j + m*l > 2i,又转化为情形(1)

 

三、群的定义与性质

群的定义

定义:满足一下四个条件的代数结构称为群:(1)封闭性  (2)可结合的 (3)存在单位元  (4)存在逆元

若群中的运算还满足交换性,则称其为交换群阿贝尔群

有限群:设G是一个群,如果G是有限集,则称(G,·)为有限群,G中元素的个数称为阶数。

群的判定:

  1. 有左单位元,即∃e∈G,使得∀a∈G,el * a = a
  2. 每个元素有左逆元
  3. 则<G,*>是群

群的性质

定理:假设G是一个群,对G中任意元素a,其逆元是唯一的

定理:(消去律)假设G是群,a,b∈G则

  1. 若ab = ac,则b = c(左消去律)
  2. 若ba = ca,则b = c(右消去律)

定理:设G是群,a,b∈G,则

  1. ∀a,b∈A,(a*b)-1  = b-1 * a-1;
  2. ∀a,b∈G,方程a*x = b和y*a = b在G中有唯一解
  3. (a-1)-1 = a
  4. G中消去律成立

定理:设G是一个群,则在关于运算*的运算表中任何两行和两列都是不相同的,而且每行和每列都是G中元素的一个转置

证:(1)先证明前面一部分,从每行(列)看,与e所在行(列)相交的元素与表头相同,相互之间不同,因为表头每个元素是不相同的

  (2)证明为一个置换,等价于每行(列)元素两两不同。考察第a行,若ab = ac,则由消去律b = c,矛盾

定理:设G是有限群,对任意a∈G,存在正整数r,使得ar = e.

证:设|G| = n,a,a2,...,an+1中必有两项相同,不妨假设am = al,1≤m≤l≤n+1,令l - m = r,于是由消去律知ar = e

定理:设G是有限群,对任意a∈G,存在正整数r,使得ar = a-1.

证:由上一个定理知,存在r,使得ar = e,则由消去律得ar-1 = a-1。若r-1>0,则结论得到证明。若r-1≤0,r为正整数,则r-1=0,a = e,所以ar = e = a-1.

 

子群

定义:假设G是一个群,H∈G是G的一个子群,如果H在G的运算·下也构成群,则称(H,·)是(G,·)的一个子集(subgroup),记作H≤G

显然<{e},·>, <{G},·>都是<G,·>的子群,它们称为<G,·>的平凡子群,而其它子群称作非平凡子群

判定:

  • H是G的子群当且仅当∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H,且h1-1∈H
  • H是G的有限非空集,则H是G的子群当且仅当∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H
  • H是G的子群当且仅当∀h1,h2∈H,有h1*h2-1∈H

 

群同态与群同构

定义:设<G1,*>和<G2,·>是群,函数h:G1->G2,若∀a,b∈G1,有h(a*b) = h(a)·h(b),则称h为<G1,*>到<G2,·>的群同态。若h是双射,则称h为群同构

简单的说就是,先运算再映射与先映射再运算是一样的。其次,群同构是一种等价关系。

自同构:假设<G,*>是群,若函数f是从<G,*>到<G,*>的同构,则称f是自同构

一种经典的同构例子:

克莱因四元群和<φ{1,2},⊕>是同构的

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其中f的定义为f(e) = Ø,f(a) = {1},f(b) = {2},f(c) = {1,2}

 

参考链接:中国大学mooc  刘铎  离散数学

 

以上是关于代数结构半群与群——定义与性质的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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机器学习|数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(22):线性空间的定义与性质

线性代数与解析几何——Part4 欧式空间 & 酉空间

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