Codeforces Round #523 (Div. 2) C Multiplicity

Posted 2021-01-23 violet-acmer

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https://www.cnblogs.com/violet-acmer/p/10005351.html

 

题意：

　　给定一数组a[]，从a[ ]中除去任意个元素得到b[ ]，求能形成多少“好序列”；

　　好序列的定义是：对于任意的 i 有 b[i]%i == 0（1 ≤ i ≤ size_b[ ]）。

题解：

　　相关变量解释：

1 int n;
2 int a[maxn];
3 int dp[maxn];//dp[i] : 下标i处可以获得的最大的"好序列"
4 int factor[maxn];//factor[i] : 记录a[i]的因子

　　步骤：

　　　(1):从a[1]开始遍历整个数组;

　　　(2):来到a[i]处，将a[i]因式分解，找到其所有的因子factor，并判断其是否在[1,i ]范围内，如果在dp[factor] += dp[factor-1];(对于所有的factor)

具体看代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 8 const int MOD=1e9+7;
 9 const int maxn=1e5+10;
10 
11 int n;
12 int a[maxn];
13 int dp[maxn];//dp[i] : 下标i处可以获得的最大的"好序列"
14 int factor[maxn];//factor[i] : 记录a[i]的因子
15 
16 void updataDp(int i)
17 {
18     int index=1;
19     for(int j=1;j*j <= a[i];++j)
20     {
21         if(a[i]%j == 0)//判断j是否为a[i]的因子
22         {
23             factor[index++]=j;//记录a[i]的因子
24             if(a[i]/j != j && a[i]/j <= i)//判断其另一个因子a[i]/j是否 <= i，并判断其是否等于 j
25                 factor[index++]=a[i]/j;
26         }
27     }
28     sort(factor+1,factor+index);
29     for(int j=index-1;j >= 1;--j)//从大因子到小因子，防止a[i]的小因子影响大因子
30     {
31         int x=factor[j];
32         dp[x] += dp[x-1];
33         dp[x] %= MOD;
34     }
35 }
36 int Solve()
37 {
38     mem(dp,0);
39     dp[0]=1;
40     for(int i=1;i <= n;++i)//遍历a[]
41         updataDp(i);//由a[i]更新dp[]
42 
43     int res=0;
44     for(int i=1;i <= n;++i)
45         res=res%MOD+dp[i];
46 
47     return res%MOD;
48 }
49 int main()
50 {
51     scanf("%d",&n);
52     for(int i=1;i <= n;++i)
53         scanf("%d",a+i);
54     printf("%d
",Solve());
55 }

View Code

　　AC前的错误代码分析：

　　①:从小因子到大因子更新dp[ ],在第五组数据就wa了

1 void updataDp(int i)
2 {
3     for(int j=1;j < i;++j)
4         if(a[i]%(j+1) == 0)
5             dp[j+1] += dp[j],dp[j+1] %= MOD;
6     dp[1]++;
7 }

　　错误原因：根据dp定义，dp[ i ]指的是当前元素a[i]在去点其之前的若干个元素后可以形成的“好序列”个数，终点是“其之前”，如果从小因子到大因子更新dp[ ]，

　　dp[bigFactor] += dp[bigFactor-1];如果bigFactor-1是a[i]的因子，那么这个因子就会给dp[bigFactor]做贡献，而实际是不需要。

　　②:查找a[i]的因子是从1遍历到i，在第八组数据TLE

　　此算法的时间复杂度为O(N^2)，当然会TLE了，然后，实在是没辙了，就去翻了翻大佬博客，发现这篇博客上使用vector存储的a[i]的所有因子，在查找a[ i ]的所有因子时的时间复杂度是sqrt(n)，当我看到sort排序的时候有点纳闷，加个O(nlogn)的排序难道不超时？

　　后来仔细想了一下，a[ i ]的所有因子很少(10⁶才49个因子)，所以用sort顶多是O(1)的时间复杂度，而整体时间复杂度为O(n√n)，当然就轻轻松松的A掉了......