[bzoj2893] 集合计数

Posted 2021-01-23 hbyer

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前置知识：广义容斥原理

考虑对于每个方案作为一个元素，每一位相同作为一个性质。

考虑在(n?)个里选(x?)个，要满足这(x?)个性质，即集合中有(x?)个相同，剩下(n-x?)个集合里的元素可选可不选，但是不能都不选，要减去空集的一个，注意这里的集合指的是题目中的集合，

所以可得：
[ alpha (x) = inom{n}{x} (2^{2^{n-x}}-1) ]
然后设(eta (x))为恰好有x个性质的元素个数，可得：
[ eta(x) = sum _{i=x} ^{n} (-1)^{i-x}inom{i}{x} alpha(i) ]
答案为(eta (k))。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define int long long
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) x=-x,putchar('-');
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+'0');
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}
 
#define maxn 1000050
#define mod 1000000007
 
int n,fac[maxn],ifac[maxn],f[maxn],k;
 
int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=a*a%mod) if(x&1) res=res*a%mod;
    return res;
}
 
signed main() {
    read(n),read(k);f[0]=2,fac[0]=ifac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*f[i-1]%mod,fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    int ans=0;
    for(int op=-1,i=k;i<=n;i++) {
        op=-op;
        ans=(ans+op*fac[n]*ifac[i]%mod*ifac[n-i]%mod*(f[n-i]-1)%mod*fac[i]%mod*ifac[k]%mod*ifac[i-k]%mod)%mod;
    }
    write((ans%mod+mod)%mod);
    return 0;
}