线性代数之——最小二乘

Posted 2021-01-22 seniusen

1. 最小二乘

(Ax=b) 经常会没有解，当方程个数大于未知数个数，也即 (m>n) 时，列空间并不是 (R^m) 空间的全部，因此 (b) 可能不在列空间中，这时候方程组就无解，但我们不应该就此而停止。

也就是误差 (e = b-Ax) 并不总是能得到 0，这时候，如果误差 (e) 的长度尽可能的小，那我们就得到了最小二乘解 (hat x)。

当 (Ax=b) 无解的时候，我们乘以 (A^T) 来求解 (A^TAx=A^Tb)。

假如我们要找到一条直线，让它距离 (0, 6) ，(1, 0)，(2, 0) 这三点最近。没有直线 (b = C+Dt) 同时穿过这三点，我们要找的两个常数 (C) 和 (D)。

[egin{alignedat}{3} &Cquad+ quad&D&cdot 0 quad=quad 6 &Cquad + quad&D&cdot 1 quad=quad 0 &Cquad + quad&D&cdot 2 quad=quad 0 end{alignedat}]

[A = egin{bmatrix}1&0\1&1\ 1&2 end{bmatrix} quad x = egin{bmatrix}C\D end{bmatrix} quad b = egin{bmatrix}6\0\0 end{bmatrix}]

由于 (b = (6, 0, 0)) 不是 (A) 的列的一个线性组合，因此方程组无解。

[A^TAx=A^Tb o egin{bmatrix}3&3\3&5end{bmatrix} egin{bmatrix}C\D end{bmatrix}egin{bmatrix}6\0 end{bmatrix}]

[egin{alignedat}{2} C = 5 D =-3 end{alignedat}]

因此，距离这三点最近的一条直线为 (b = 5-3t)。

2. 最小化误差

• 几何理解

任何 (Ax) 都是 (A) 的列的一个线性组合，它们都位于以 (A) 的列为基的一个平面中。因此，我们要找的就是平面中的一个距离 (b) 最近的向量，而这个向量就是 (b) 在这个平面中的投影 (p)。

• 代数理解

(Ax=b=p+e) 是不可解的，但 (Ahat x = p) 是可解的。我们需要最小化下面这个误差

[||Ax-b||^2 = ||Ax-p||^2 + ||e||^2]

当取 (x = hat x)，$ ||Ax-p||^2 = 0$，因此最小误差为 (|e||^2)。

• 微积分理解

误差函数可以表示为

两个未知数有两个导数，当导数分别为零时，我们就得到了误差函数的最小值。

整理后我们得到

可以看到，这和 (A^TAx=A^Tb) 得到的结果是一样的。也就是说当 (A^TAx=A^Tb) 的时候 (||Ax-b||^2) 的偏导数为零。

在四个基本子空间中，这次我们将 (b) 分解为 (b=p+e)，这时候 (A^TAx=A^Tb) 的零空间解只有零向量，因此最优解只有一个 (Ahat x=p)。

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