bzoj 3027: [Ceoi2004]Sweet生成函数+组合数学

Posted 2021-01-22 lokiii

首先根据生成函数的套路，这个可以写成：
[ prod_{i=1}^{n}(1+x^1+x^2+...+x^{c[i]}) ]
然后化简
[ =prod_{i=1}^{n}frac{1-x^{c[i]+1}}{1-x} ]
[ =prod_{i=1}^{n}frac{1}{1-x}*(1-x^{c[i]+1}) ]
[ =(1+x^1+x^2+...)^n*prod_{i=1}^{n}(1-x^{c[i]+1}) ]
位数过多所以只考虑有常数项的位，后面那个式子可以dfs，然后对于得到的有常数项a的一位b，需要乘( (1+x^1+x^2+...)^n )，然后这个式子展开后每一项的常数项是( C_{n+i-1}^{n-1} )，也就是对于这一位方案数（常数项）的统计就是( k*(C_{n+0-1}^{n-1}+C_{n+1-1}^{n-1}+...+C_{n+(m-b)-1}^{n-1}) )这里无穷项变有穷是因为m的个数限制，然后后面那个组合数式子是杨辉三角的一列，找规律发现化简可得 ( C_{n+(m-b)}^{n} )，这里mod不是质数所以逆元不行，但是注意到n-m很小，所以先把n!和(n-m)!化简最后再除以m!即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=15,mod=2004;
int n,l,r,c[N],ans;
long long fac=1;
int C(int n,int m)
{
    if(n<m)
        return 0;
    long long ans=1,p=fac*mod;
    for(int i=n-m+1;i<=n;i++)
        ans=1ll*i%p*ans%p;
    return (ans/fac)%mod;
}
int dfs(int w,int a,int b,int m)
{
    if(w==n+1)
        return a*C(n+m-b,n)%mod;
    return (dfs(w+1,a,b,m)+dfs(w+1,-a,b+c[w]+1,m))%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&c[i]),fac*=i;
    printf("%d
",((dfs(1,1,0,r)-dfs(1,1,0,l-1))%mod+mod)%mod);
    return 0;
}