（矩阵快速幂）51NOD 1242斐波那契数列的第N项

Posted 2021-01-22 ekalos-blog

斐波那契数列的定义如下：

 

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

 

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)

给出n，求F(n)，由于结果很大，输出F(n) % 1000000009的结果即可。

 

输入

输入1个数n(1 <= n <= 10^18)。

输出

输出F(n) % 1000000009的结果。

输入样例

11

输出样例

89
解：由于斐波那契数列的第N（N>2）项等于N-1个{{1，1}，{1，1}}矩阵相乘后的第一项。
　　由于这种矩阵形式上的特殊性（对称，乘法可交换），我们可以借助快速幂的思想可以快速求解这个答案。

 1 #include <stdio.h>
 2 
 3 #define MOD 1000000009
 4 
 5 int main()
 6 {
 7     long long n;
 8     while (scanf_s("%lld", &n) != EOF)
 9     {
10         long long a[2][2] = { 1,0,0,1 }, tmp[2][2] = { 1,1,1,0 };
11         if (n < 2)printf("%d
", n);
12         else
13         {
14             --n;
15             while (n)
16             {
17                 if (n % 2)
18                 {
19                     int q, w, e;
20                     q = (tmp[0][0] * a[0][0] + tmp[0][1] * a[1][0]) % MOD;
21                     w = (tmp[0][0] * a[0][1] + tmp[0][1] * a[1][1]) % MOD;
22                     e = (tmp[1][0] * a[0][1] + tmp[1][1] * a[1][1]) % MOD;
23                     a[0][0] = q;
24                     a[0][1] = a[1][0] = w;
25                     a[1][1] = e;
26                 }
27                 int q, w, e;
28                 q = (tmp[0][0] * tmp[0][0] + tmp[0][1] * tmp[1][0]) % MOD;
29                 w = (tmp[0][0] * tmp[0][1] + tmp[0][1] * tmp[1][1]) % MOD;
30                 e = (tmp[1][0] * tmp[0][1] + tmp[1][1] * tmp[1][1]) % MOD;
31                 tmp[0][0] = q;
32                 tmp[0][1] = tmp[1][0] = w;
33                 tmp[1][1] = e;
34                 n >>= 1;
35             }
36             printf("%d
", a[0][0]);
37         }
38     }
39 }