[2018雅礼集训1-16]方阵

Posted 2021-01-22 hchhch233

[题目描述]：

给出一个 (n×m) 大小的矩形，每个位置可以填上$ [1,c]$中的任意一个数，要求填好后任意两行互不等价且任意两列互不等价，两行或两列等价当且仅当对应位置完全相同，求方案数 。

(n,mle 5000)

确实是一道神仙题。

对这种行列都有限制的题我们可以先只考虑一边。

我们先只考虑让行之间互不等价，一个(n行m列)且行互不等价的矩形的方案数为((C^m)^{underline{n}})。

我们设(g(m))表示行互不等价的情况下，(m)列的矩形的方案数。(g(m)=(C^m)^{underline{n}})。

我们设(f(m))表示行和列都分别互不等价的情况下，(m)列的矩形的方案数，也就是我们要的答案。

则：
[ g(m)=sumlimits_{i=0}^megin{Bmatrix}m\i end{Bmatrix}f(i) ]
这个式子的意义就是我们枚举(m)列分成了(i)个互不等价的集合，再将这(m)列分配到这些集合中去。

由斯特林反演得到：
[ f(m)=sumlimits_{i=0}^m(-1)^{m-i}egin{bmatrix}m\i end{bmatrix}g(i) ]
于是我们就可以(O(n^2))计算了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1004535809
#define N 5005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int T;
ll n,m,c;
ll s1[N][N],g[N];
int main() {
    s1[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=5000;i++)
        for(int j=1;j<=5000;j++)
            s1[i][j]=(s1[i-1][j-1]+(i-1)*s1[i-1][j])%mod;
    T=Get();
    while(T--) {
        n=Get(),m=Get(),c=Get();
        g[0]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++) g[i]=g[i-1]*c%mod;
        ll ans=0;
        int flag=m&1?1:-1;
        for(int i=1;i<=m;i++,flag*=-1) {
            ll now=1;
            for(int j=1;j<=n;j++) now=now*(g[i]-j+1+mod)%mod;
            (ans+=flag*s1[m][i]*now%mod+mod)%=mod;
        }
        cout<<ans<<"
";
    }
    return 0;
}