Chapter 1. 庞加莱群单粒子态和时间空间反演

Posted 2021-01-22 paulisbeetle

1. 前言

本部分参考了Weinberg的量子场论第一卷第二章的内容。如果具备一些关于群表示论的知识，阅读Weinberg 的量子场论无疑是一种享受。虽然其它场论教科书的语言通俗易懂（尤其是Shwartz的场论，但Schwartz的书在数学上也十分严谨），可以帮助读者较快地理解物理图像，但是不准确的表达也十分容易引起一些基本概念的混淆，而Weinberg的书将数学和物理完美结合，没有任何语焉不详之处，在细节问题上的处理可以看出作者功力之深厚，就像物理学界那句名言所说的，“魔鬼藏在细节中“。

2. 庞加莱代数

庞加莱群即为洛伦兹群(Lambda)和平移群(a)的半直积，很类似 Euclid 空间群。群元之间的运算定义为：
[ T(arLambda,ar a)T(Lambda,a)=T(arLambdaarLambda,arLambda a+ar a). ]
它在希尔伯特空间上的酉表示满足：
[ U(arLambda,ar a)U(Lambda,a)=U(arLambdaLambda,arLambda a+ar a). ]
当然，更严格的做法是考虑射影表示，不过在这里我们只用最通常的表示即可。

接下来分析庞加莱群所具有的一些性质，我们从它的一个子群洛伦兹群入手。洛伦兹群元的行列式为(1)或者(-1)，(Lambda_0^0ge1)或者(Lambda_0^0le-1)。这说明，洛伦兹群有四个分支，不是一个连通群。我们来说明，行列式为(1)且(Lambda_0^0ge1)的分支为它的一个子群。只需要验证封闭性即可。行列式为正显然满足封闭性，我们来证明另一个条件。(Lambda_0^0ge 1, arLambda_0^0ge 1Rightarrow(arLambdaLambda)_0^0ge 1.) 若((arLambdaLambda)_0^0 gearLambda_0^0Lambda_0^0ge 1), 不然有
[ egin{equation} (arLambdaLambda)_0^0=arLambda_0^0Lambda_0^0+arLambda_1^0Lambda_0^1+arLambda_2^0Lambda_0^2+arLambda_3^0Lambda_0^3,quad |arLambda_1^0Lambda_0^1+arLambda_2^0Lambda_0^2+arLambda_3^0Lambda_0^3| lesqrt{(arLambda_0^0)^2-1}sqrt{(Lambda_0^0)^2-1} end{equation} ]

[ Rightarrow(arLambdaLambda)_0^0gearLambda_0^0Lambda_0^0-sqrt{(arLambda_0^0)^2-1}sqrt{(Lambda_0^0)^2-1}, ]

[ (arLambda_0^0Lambda_0^0-1)^2-((arLambda_0^0)^2-1)((Lambda_0^0)^2-1)=(arLambda_0^0-Lambda_0^0)^2ge0, ]

[ Rightarrow(arLambdaLambda)_0^0gearLambda_0^0Lambda_0^0-sqrt{(arLambda_0^0)^2-1}sqrt{(Lambda_0^0)^2-1}ge1. quadsquare ]

上述子群称为 proper orthochronous Lorentz group, 从该群出发并结合时间反演、空间反演和这两个群元的乘积就可以跳到其它三个分支。空间反演矩阵不改变0分量，将其它三个分量取反，时间反演矩阵只将0分量取反。

庞加莱群另外一个性质为非紧群，即群元中的矩阵元的模无上下界，这直接引起了庞加莱群不存在有限维的不可约表示。而熟知的 SO(3) 群因为是正交矩阵，每个矩阵元的模都必须小于1, 于是SO(3)群为紧群，存在有限维的不可约表示，事实上，该群存在任意整数维的不可约表示。

我们在单位元附近将庞加莱群表示进行展开来求其生成元的李代数。
[ U(1+omega,epsilon)=1+frac{i}{2}omega_{ hosigma}J^{ hosigma}-epsilon_ ho P^ ho+... ]
由 Lorentz group 的性质可知(omega_{ hosigma})为反对称张量，于是在不影响结果的前提下，我们有(J^{ hosigma}=-J^{sigma ho}).
[ U(Lambda,a)U(1+omega,epsilon)U^{-1}(Lambda,a)=U(Lambda(1+omega)Lambda^{-1},Lambdaepsilon-LambdaepsilonLambda^{-1}a). ]
反复利用上述两式可以得到生成元之间的对易关系即所谓的李代数：
[ i[J^{mu u},J^{ hosigma}]=g^{ u ho}J^{musigma}-g^{mu ho}J^{ usigma}-g^{sigmamu}J^{ ho u}+g^{sigma u}J^{ homu},quad i[P^mu,J^{ hosigma}]=g^{mu ho}P^sigma-g^{musigma}P^ ho,quad [P^mu,P^ ho]=0. ]
定义四阶动量(P^mu={H,P^1,P^2,P^3}), 角动量算符(vec{J}={J^{23},J^{31},J^{12}}), Boost算符(vec{K}={J^{01},J^{02},J^{03}}) ，便可得到熟悉的对易关系。

最后指出几个子群的表示。

平移群：(omega=0)，生成元只有(P^mu)，并且生成元之间互换对易，于是表示可以直接写为(U(1,a)=exp(-iP^mu a_mu)).

三维旋转群：(a=0)，并且令(omega) 第一行和第一列都为0, 生成元只有(vec{J})，于是表示可以写为(U(R_ heta,0)=exp(ivec Jcdotvec heta)).