拉格朗日乘子法

Posted 2021-01-22 yijuncheng

拉格朗日乘子法 (Lagrange multipliers)是→种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法.通过引入拉格朗日乘子，可将有 d 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转化为具有 d + k 个变量的无约束优化问题求解。
我们先以包含一个变量的简单优化问题为例，

求在满足$x le -1$ 或者 $x ge -1$的约束条件$g(x)$下，求${x^2} + 4x - 1$目标函数$f(x) $的最小值，如图所示，

[egin{array}{*{20}{l}}
{mathop {min }limits_x f(x) = {x^2} + 4x - 1}\\
egin{array}{l}
s.t.{ m{ }}x + 1 le 0\\
(s.t.{ m{ - }}x - 1 le 0)
end{array}
end{array}]

 

当没有约束的时候，我们可以直接令目标函数的导数为0，求最小值。

可现在有约束，那怎么在求目标函数最小值的时候，考虑约束呢。最直观的办法我们把约束放进目标函数里面，由于本例中只有一个约束，所以引入一个朗格朗日乘子$lambda$，构造一个新的函数$h(x)$，

[h(x) = f(x) + lambda g(x) ]

求解最优的过程可以根据约束分为两种情况，

当$g(x) <0$时，也就是不等式约束满足的时候，约束对求目标函数最小值不起作用，这等价于$lambda = 0$，直接通过条件$ abla f(x*) = 0$， 也就是约束为$g(x)=x +1 le 0$的情况。

当$g(x) =0$时，不等式约束转换为等式约束$g(x)=0$，也就是在$lambda>0$的情况下，使得$ abla f(x*) + lambda abla g(x*)=0$，也就是约束为$g(x)=-x -1 ge 0$的情况。

整合这两种情况，必须满足$lambda g(x)=0$

因此在约束$g(x)$，最小化$f(x)$，可转化为在如下约束下，最小化拉格朗日函数

[left{ {egin{array}{*{20}{c}}
{g(x) le 0}\\
{lambda ge 0}\\
{lambda g(x) ge 0}
end{array}} ight.]

上述约束条件成为KKT条件。

该KKT条件可扩展到多个等式约束和不等式约束的优化问题。