bzoj 4559 [JLoi2016]成绩比较——拉格朗日插值

Posted 2021-01-22 narh

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4559

关于拉格朗日插值，可以看这些博客：

https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6833391.html

https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/78018944

这个题要先想好DP方程。dp[ i ][ j ]表示第 i 门课、目前有 j 个人被“碾压”。

dp[ i ][ j ]=sigma( dp[ i-1 ][ k ] * C( k , j ) * C( n-k-1 , n-rk[ i ]-j ) * g[ i ] )。其中 g[ i ]=sigma(d=1~u[ i ]) d^(n-rk[ i ]) * ( u[ i ]-d )^(rk[ i ]-1)。

C( k , j )表示从上一次的 k 个人里选 j 个人作为这次还是分数<=自己的人；第二个C就是在已经不被碾压的人中选一些满足自己的排名。

然后每个人的分数是在自己之上还是在自己之下就确定了。枚举自己的分数，在自己之下的人每个有 d 种选择，在自己之上的人每个有 ( u[ ] - d ) 种选择。

g用拉格朗日插值算就行。是一个 n-1 次函数。但不知为何需要 n+1 个点才行。

注意 upd( ) 里写上 & ！！！！！

负数的逆元果然可以是它相反数逆元的相反数。

最后是恰好 K 个人，不是大于等于 K 个人。

注意 g 是sigma的，不是单独的 d^( ) * ( )^( ) 。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=105,mod=1e9+7;
int n,m,t,u[N],rk[N],dp[N][N],c[N][N],g[N],y[N],inv[N],ans;
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:0;x<0?x+=mod:0;}//////&!!!!!!!
int pw(int x,int k)
{
  int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;
}
int calc(int lm,int n,int m)
{
  int ret=0,d=n+m+2;//+2?
  if(lm<=d)
    {
      for(int i=1;i<=lm;i++)
    ret=(ret+(ll)pw(i,n)*pw(lm-i,m))%mod;
      return ret;
    }
  for(int i=1;i<=d;i++)
    {
      y[i]=(y[i-1]+(ll)pw(i,n)*pw(lm-i,m))%mod;//y[i-1]+* !!
      int tmp=1;
      for(int j=1;j<=d;j++)
    {
      if(j==i)continue;
      if(i>j)
        tmp=(ll)tmp*(lm-j)%mod*inv[i-j]%mod;
      else
        tmp=(ll)tmp*(j-lm)%mod*inv[j-i]%mod;
    }
      ret=(ret+(ll)tmp*y[i])%mod;
    }
  return ret;
}
void init()
{
  for(int i=0;i<=n;i++)c[i][0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=i;j++)
      c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1],upd(c[i][j]);
  for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=pw(i,mod-2);
  for(int i=1;i<=m;i++)
    g[i]=calc(u[i],n-rk[i],rk[i]-1);
}
int main()
{
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
  for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&u[i]);
  for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&rk[i]);
  init();
  dp[0][n-1]=1; int mn0=n-1,mn1=n-1;
  for(int i=1;i<=m;i++)
    {
      mn1=min(mn0,n-rk[i]);
      for(int j=t;j<=mn1;j++)//t
    {
      for(int k=j;k<=mn0;k++)
        if(dp[i-1][k])
          dp[i][j]=(dp[i][j]+(ll)dp[i-1][k]*c[k][j]%mod*c[n-1-k][n-rk[i]-j]%mod*g[i])%mod;
    }
      mn0=mn1;
    }
  printf("%d
",dp[m][t]);
  return 0;
}