伸展树

Posted 2021-01-21 caijiaming

　　我们知道，二叉查找树能够支持多种动态集合操作，因此在程序设计竞赛中，二叉查找树起着非常重要的作用，它可以用来表示有序集合，建立索引或优先队列等。作用于二叉树的基本操作时间是与树的高度成正比的：对于一颗含n个节点的二叉查找树，如果呈完全二叉树结构，则这些操作的最坏情况的运行时间为O(log2 n); 但如果呈线性链结构，则这些操作的最坏情况运行时间退化为O(n)。 针对二叉树这种不平衡、不稳定的弊病，人们做了大量改进优化的尝试，使其基本操作在最坏情况下的性能尽量保持良好。本节将介绍两种改进型的二叉查找树：

　　1、伸展树（splay tree)：

　　这里要介绍的伸展树是一种改进型的二叉查找树。 虽然它并不能完全保证树结构始终平衡，但对于伸展树的一系列操作，我们可以证明其每一步操作的平摊复杂度都是O（log2 n)。所以从某种意义上来说，这种改进厚的二叉查找树能够基本达到一种平衡状态。至于伸展树的空间要求与编程复杂度，在各种树状数据结构中都是很优秀的。

　　伸展树的基本操作包括：

　　1、伸展操作，即伸展树作自我调整。

　　2、判断元素x是否在伸展树中。

　　3、将元素x插入到伸展树。

　　4、将元素x从伸展树中删除。

　　5、将两颗伸展树S1和S2合并为一颗伸展树(其中S1的所有元素都小于S2的元素）。

　　6、以x为界，将伸展树S分离成两颗伸展树S1和S2，其中S1中所有元素都小于x，S2中所有元素都大于x。

　　其中基本操作2~6都是在伸展操作的基础上进行的。

　　1、伸展操作------Splay(x,S)

　　伸展操作是在保持伸展树有序性的前提下，通过一系列旋转将伸展树S中的元素x调整至树的根部。 在调整过程中，要分为以下三种情况分别处理：

　　情况1：节点x的父节点y是根节点。

　　这时，如果x是y的左儿子，我们进行一次Zig（右旋)操作；如果x是y的右儿子，则进行一次Zag（左旋）操作。经过旋转，x成为二叉树S的根节点，调整结束。我们称这种旋转为单旋转。如下图：

　　可以仔细看一下这个图：

　　左图到右图：Zig（右旋）就是将x变为根，y变为x的右儿子，x的右儿子变为y的左儿子，这样就保证相对有序了，左儿子都小于本身，本身又小于右儿子。

　　右图到左图：Zag（左旋）就是将y变为根，x变为y的左儿子，y的左儿子变为x的右儿子，这样就保证相对有序了。

　　情况2：节点x的父节点y不是根节点，y的父节点为z且x与y同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右儿子。

　　这时进行一次Zig-Zig操作或者Zag-Zag操作，即假设当前节点为x，x的父节点为y,y的父节点为z,如果y和x同为其父亲的左孩子或者右孩子，那么先旋转y，再旋转x。我们称这种旋转为一字旋转，如下图：

　　这里是怎么旋转的呢？  先旋转y，这时就变成了

　　

再旋转x就变成了：

　　情况3：节点x的父节点y不是根节点,y的父节点为z，x与y中一个是其父节点的左儿子，另一个是其父节点的右儿子。

　　这是进行一次Zig-Zag操作或者进行一次Zag-Zig操作，即连续旋转两次X。我们称这种旋转为之字型旋转。如下图所示：

　　如下图所示，执行Splay（1，S），我们将元素1调整到了伸展树S的根部

　　再执行Splay（2,S），如下图所示

　　我们从直观上可以看出经调整厚，伸展树比原来“平衡”了许多。伸展操作的过程并不复杂，只需要根据情况进行旋转就可以了，而三种旋转都是由基本的左旋转和右旋组成，实现较为简单。

　　利用Splay操作，我们可以在伸展树S上进行如下运算。

　　2、判断元素x是否在伸展树S表示的有序集中-------Find(x,S)

　　首先，与在二叉树中查找操作一样，在伸展树中查找元素x。如果x 在树中，则将x 调整至伸展树S 的根部(执行Splay（x，S) )。

　　3、将元素插入伸展树S表示的有序集中------Insert（x，S）

　　与处理普通的二叉查找树一样，将x 插入到伸展树S中的相应位置上，再将x 调整至伸展树S的根部(执行Splay（x，S））。

　　4、将元素从伸展树S所表示的有序集中删除-------Delete（x，S）。

　　首先，用在二叉树中查找元素的方法找到x的位置。如果x没有孩子或者只有一个孩子，那么直接将x删掉，并通过Splay操作，将x节点的父节点调整到伸展树的根节点处，否则，向下查找x的后继y，用y替代x 的位置，最后执行Splay（y，S),将y调整为伸展树的根。

　　5、将两颗伸展树S1和S2合并成为一颗伸展树------Join（S1,S2）（其中S1的所有元素值都小于S2的所有元素值)

　　首先，找到伸展树S1中最大的一个元素x,再通过Splay（x，S1）将x调整到伸展树S1的根。然后再将S2作为x节点的右子树。这样，就得到了新的伸展树S,如下图所：

　　6、以x为界，将伸展树S分离为两颗伸展树S1和S2------Split（x,S)（其中S1中所有元素都小于x，S2中所有元素都大于x）

　　首先执行Find（x，S），将元素x调整为伸展树的根节点，则x的左子树就是S1,二右子树就是S2。然后去除x通往左右儿子的边，如下图所示：

　　在伸展操作的基础上，除了上面介绍的五种最基本操作，伸展树还支持求最大值，最小值，前驱，后继等多种操作，这些基本操作也都是建立在伸展操作的基础上的。

　　由上述操作的实现过程可以看出，伸展树基本操作的时间效率完全取决于Splay操作的时间复杂度。下面，