内功基础算法——图论

Posted 2021-01-21 zhangwanying

1. 如何判断一个图是二分图（染色问题）leetcode 886 possible bipartition

题解：我们用一个color数组标记点的颜色，然后对每一个点做bfs，如果两个点间有边，并且另外一个点没有被染色，就把另外一个点染色成相反色，如果另外一个点有颜色，而且颜色和当前结点相同，那么肯定不是二分图。

 1 class Solution {
 2 public:
 3     bool possibleBipartition(int N, vector<vector<int>>& dislikes) {
 4         N1 = N;
 5         const int edges = dislikes.size();
 6         if (edges == 0) {return true;}
 7         for (auto& p : dislikes) {
 8             stDis.insert(make_pair(p[0], p[1]));
 9         }
10         vector<int> color(N + 1, -1);
11         for (int i = 1; i < N+1; ++i) {
12             if (color[i] == -1 && !bfs(i, color)) {
13                 return false;
14             }
15         }
16         return true;
17     }
18     bool bfs(int p, vector<int>& color) {
19         queue<int> que;
20         que.push(p);
21         color[p] = 1;
22         while (!que.empty()) {
23             int node = que.front();
24             que.pop();
25             for (int i = 1; i <= N1; ++i) {
26                 if (i == node) { continue; }
27                 pair<int, int> e = make_pair(min(i, node), max(i, node));
28                 if (stDis.find(e) != stDis.end()) {
29                     if (color[i] == -1) {
30                         color[i] = 1 - color[node];
31                         que.push(i);
32                     } else if (color[i] == color[node]) {
33                         return false;
34                     }
35                 }
36             }
37         }
38         return true;
39     }
40     int N1;
41     set<pair<int, int>> stDis;
42 };

leetcode 886 bfs

这个解法巨慢, 1700+ms。看有没有更快的方法。

solution 里面给了 dfs 的方法，80ms

就是先建图，因为是DAG，注意双边。然后从一个没有染过色的点开始，dfs染色，如果相邻结点有染色，判断是否冲突，如果相邻结点没有染色，就把它染成相反色。

 1 //dfs 方法 建图的时候，注意是双边都要加，这是DAG
 2 class Solution {
 3 public:
 4     bool possibleBipartition(int N, vector<vector<int>>& dislikes) {
 5         vector<int> temp(N + 1, -1);
 6         color = temp;
 7         m = dislikes.size();
 8         edges.resize(N + 1);
 9         for (const auto& p : dislikes) {
10             edges[p[0]].push_back(p[1]);
11             edges[p[1]].push_back(p[0]);
12         }
13         for (int i = 1; i < N+1; ++i) {
14             if (color[i] == -1 && !dfs(i, 0)) {
15                 return false;
16             }
17         }
18         return true;
19     }
20     bool dfs(int node, int c) {
21         if (color[node] != -1) { return color[node] == c; }
22         color[node] = c;
23         for (const auto& p : edges[node]) {
24             if (!dfs(p, 1 - c)) {
25                 return false;
26             }
27         }
28         return true;
29     }
30     vector<int> color;
31     vector<vector<int>> edges;
32     int m;
33 };

leetcode 886 dfs

 重新写了一个bfs，也能80ms过，看来是第一个方法不好，没有双向建图

 1 //bfs 方法 建图的时候，注意是双边都要加，这是DAG
 2 class Solution {
 3 public:
 4     bool possibleBipartition(int N, vector<vector<int>>& dislikes) {
 5         vector<int> temp(N + 1, -1);
 6         color = temp;
 7         m = dislikes.size();
 8         edges.resize(N + 1);
 9         for (const auto& p : dislikes) {
10             edges[p[0]].push_back(p[1]);
11             edges[p[1]].push_back(p[0]);
12         }
13         for (int i = 1; i < N+1; ++i) {
14             if (color[i] != -1) { continue; }
15             queue<int> que;
16             que.push(i);
17             color[i] = 0;
18             while (!que.empty()) {
19                 int node = que.front(); que.pop();
20                 for (auto& p : edges[node]) {
21                     if (color[p] == color[node]) {return false;}
22                     if (color[p] == -1) {
23                         color[p] = 1 - color[node];
24                         que.push(p);
25                     }
26                 }
27             }
28         }
29         return true;
30     }
31     vector<int> color;
32     vector<vector<int>> edges;
33     int m;
34 };

leetcode 886 bfs

 

2. 拓扑排序 （leetcode 207）（算法见《算法竞赛入门指南》chp6 数据结构基础 6.4.3 拓扑排序）

基本概念和定义：如果图中存在有向环，则不存在拓扑排序，反之则存在。我们把不包含有向环的有向图称为有向无环图（directed acyclic graph, DAG）。可以借助 dfs 完成拓扑排序：在访问完一个结点之后把它放在当前拓扑排序的首部。（想想为啥不是尾部）

这里用到了一个 c 数组， c[u] = 0 表示从来没有访问过（从来没有调用过 dfs(u) ）;c[u] = 1 表示已经访问过，并且还递归访问过它的所有子孙(即dfs(u)曾经被调用过，并已经返回)；c[u] = -1 说明正在访问(即递归调用dfs(u)正在栈帧中，尚未返回)。 

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstdlib>
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 int c[100] = {0};
 9 int topo[100] = {0}, t;
10 int g[105][105];
11 int n; //n个结点
12 
13 bool dfs(int u) {
14     c[u] = -1;
15     for (int v = 0; v < n; ++v) {
16         if (g[u][v]) {
17             if (c[v] < 0) { return false; } //说明有环
18             else if (!c[v] && !dfs(v)) {return false;}
19         }
20     }
21     c[u] = 1;
22     topo[--t] = u;
23     return true;
24 }
25 
26 bool toposort() {
27     t = n;
28     memset(c, 0, sizeof(c));
29     for (int u = 0; u < n; ++u) {
30         if (!c[u]) {
31             if (!dfs(u)) {
32                 return false;
33             }
34         }
35     }
36     return true;
37 }
38 
39 int main(int argc, char *argv[]) {
40     n = 5;
41     memset(g, 0 , sizeof(g));
42     g[0][1] = 1;
43     g[0][3] = 1;
44     g[3][4] = 1; 
45     //g[4][3] = 1; 检测环
46     bool ret = toposort();
47     if (ret) {
48         for (int i = 0; i < n; ++i) {
49             printf("%d ", topo[i]);
50         }
51         printf("
");
52     }
53     if (!ret) {
54         printf("no ans
");
55     }
56     return 0;    
57 }

View Code

 额外补充：如何判断toposort的唯一性，看是否多于一个结点的入度为 0。