SBT（Size Balanced Tree）

Posted 2021-01-21 cold-cold

1. 二叉搜索树

　　二叉搜索树，是一种能实现动态查询第k大或查询，某数在序列中的排名的树形结构，在数据较为随机的情况下，它的期望复杂度为O(logn），但是若是数据为一个有序序列，那么该二叉搜索树，将会变成一条链，此时每次查找的复杂度将会变成复杂度为O(n）

2. SBT

　　针对上述问题，为了能使复杂度回到O(logn),我们在每次插入操作后，对树形进行高效的调整使之变的较为平衡。这时树高变成logn 而搜索的复杂度也于是会变回logn为此我们引入左旋和右旋操作

void zx(int &x)
{
    int y=rs[x];
    rs[x]=ls[y];
    ls[y]=x;
    siz[y]=siz[x];
    siz[x]=siz[ls[x]]+siz[rs[x]]+1;
    x=y;
}

void yx(int &x)
{
    int y=ls[x];
    ls[x]=rs[y];
    rs[y]=x;
    siz[y]=siz[x];
    siz[x]=siz[ls[x]]+siz[rs[x]]+1;
    x=y;
}

　　为了能使树更加平衡，我们规定该点的左儿子不可以比该点的右儿子的左儿子和右儿子大，用代码表示起来就是siz[rs[rs[now]]]<=siz[ls[now]]和siz[ls[rs[now]]]<=siz[ls[now]],同理该点的右儿子不可以比该点的左儿子的左儿子和右儿子大。

　　为了达到这个目的，我们进行一个maintain操作，对不平衡的子树进行调整（注：虽然它的复杂度看起来似乎是O(n）但实际上它的复杂度是O（1）的）

void maintain(int &now,int how)
{
    if(how)
    {
        if(siz[rs[rs[now]]]>siz[ls[now]]) zx(now);
        else if(siz[ls[rs[now]]]>siz[ls[now]]) yx(rs[now]),zx(now);
        else return;
    }
    else
    {
        if(siz[ls[ls[now]]]>siz[rs[now]]) yx(now);
        else if(siz[rs[ls[now]]]>siz[rs[now]]) zx(ls[now]),yx(now);
        else return;
    }
    maintain(ls[now],0);
    maintain(rs[now],1);
    maintain(now,0);
    maintain(now,1);
}

接下来的操作都是二叉搜索树的操作了，加点操作较为简单，不再赘述