树链剖分

Posted 2021-01-21 cold-cold

　　首先，在学树链剖分之前最好先把 LCA、树形DP、DFS序 这三个知识点学了还有必备的 链式前向星、线段树 也要先学了。如果这些个知识点没掌握好的话，树链剖分难以理解也是当然的

　　树链剖分 就是对一棵树分成几条链，把树形变为线性，减少处理难度
需要处理的问题：

• 将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
• 求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
• 将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
• 求以x为根节点的子树内所有节点值之和

 

首先我们要了解这些概念

• 重儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 以那个儿子为根的子树节点数最大的儿子 为该节点的重儿子
• 轻儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 非重儿子 的剩下所有儿子即为轻儿子
• 叶子节点没有重儿子也没有轻儿子（因为它没有儿子）
• 重边：连接任意两个重儿子的边叫做重边
• 轻边：剩下的即为轻边
• 重链：相邻重边连起来的 连接一条重儿子 的链叫重链
  • 对于叶子节点，若其为轻儿子，则有一条以自己为起点的长度为1的链
  • 每一条重链以轻儿子为起点

dfs1()

这个dfs要处理几件事情：

• 标记每个点的深度dep[]
• 标记每个点的父亲fa[]
• 标记每个非叶子节点的子树大小(含它自己)
• 标记每个非叶子节点的重儿子编号son[]

void dfs1(int u,int ff)
{
    dep[u]=dep[ff]+1;fa[u]=ff;size[u]=1;
    int maxn=0;
    for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to) if(v!=ff)
    {
        dfs1(v,u);
        size[u]+=size[v];
        if(size[v]>maxn) maxn=size[v],son[u]=v;
    }
}

dfs2()

这个dfs2也要预处理几件事情

• 标记每个点的新编号
• 赋值每个点的初始值到新编号上
• 处理每个点所在链的顶端
• 处理每条链

顺序：先处理重儿子再处理轻儿子，理由后面说

 

void dfs2(int u,int topf)
{
    id[u]=++tim;wn[tim]=w[u];
    top[u]=topf;
    if(!son[u]) return;
    dfs2(son[u],topf);
    for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to) if(v!=fa[u]&&v!=son[u])
        dfs2(v,v);
}

 

处理问题

Attention 重要的来了！！！
前面说到dfs2的顺序是先处理重儿子再处理轻儿子  我们来模拟一下：

• 因为顺序是先重再轻，所以每一条重链的新编号是连续的
• 因为是dfs，所以每一个子树的新编号也是连续的

现在回顾一下我们要处理的问题

• 处理任意两点间路径上的点权和
• 处理一点及其子树的点权和
• 修改任意两点间路径上的点权
• 修改一点及其子树的点权

1、当我们要处理任意两点间路径时：
设所在链顶端的深度更深的那个点为x点

• ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和
• 把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点

不停执行这两个步骤，直到两个点处于一条链上，这时再加上此时两个点的区间和即可

 

这时我们注意到，我们所要处理的所有区间均为连续编号(新编号)，于是想到线段树，用线段树处理连续编号区间和每次查询时间复杂度为O(log₂n)

void update_tree(int u,int v,int val)
{
    while(top[u]!=top[v])
    {
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        update(id[top[u]],id[u],val,1,n,1);
        u=fa[top[u]];
    }
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    update(id[v],id[u],val,1,n,1);
}
int query_tree(int u,int v)
{
    int ans=0;
    while(top[u]!=top[v])
    {
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        ans=(ans+query(id[top[u]],id[u],1,n,1))%mod;
        u=fa[top[u]];
    }
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    return (ans+query(id[v],id[u],1,n,1))%mod;
}

总体代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define lson l,mid,o<<1
#define rson mid+1,r,o<<1|1
using namespace std;
inline int read()
{
    int a=0,q=0;
    char ch=getchar();
    while((ch<‘0‘||ch>‘9‘)&&ch!=‘-‘) ch=getchar();
    if(ch==‘-‘)  q=1,ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) a=(a<<3)+(a<<1)+ch-48,ch=getchar();
    return q?-a:a;
}
const int N=200100;
int n,m,r,mod,u,v,w[N],wn[N],head[N],dep[N],fa[N],top[N],size[N],son[N],id[N],sum[N<<2],tag[N<<2],cnt=0,tim=0,op,x,y,z;
struct EDGE{int to,nxt;}e[N<<1];
void add(int u,int v)
{
    e[++cnt]=(EDGE){v,head[u]};
    head[u]=cnt;
}
void pushdown(int lnum,int rnum,int o)
{
    if(tag[o])
    {
        tag[o<<1]+=tag[o];
        tag[o<<1|1]+=tag[o];
        (sum[o<<1]+=tag[o]*lnum)%=mod;
        (sum[o<<1|1]+=tag[o]*rnum)%=mod;
        tag[o]=0;
    }
}
void build(int l,int r,int o)
{
    if(l==r){sum[o]=wn[l]%mod;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    sum[o]=(sum[o<<1]+sum[o<<1|1])%mod;
}
void update(int L,int R,int val,int l,int r,int o)
{
    if(L<=l&&r<=R){tag[o]+=val,(sum[o]+=(r-l+1)*val)%=mod;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(mid-l+1,r-mid,o);
    if(L<=mid) update(L,R,val,lson);
    if(R> mid) update(L,R,val,rson);
    sum[o]=(sum[o<<1]+sum[o<<1|1])%mod;
}
int query(int L,int R,int l,int r,int o)
{
    if(L<=l&&r<=R) {return sum[o]%mod;}
    int mid=(l+r)>>1,ans=0;
    pushdown(mid-l+1,r-mid,o);
    if(L<=mid) (ans+=query(L,R,lson))%=mod;
    if(R> mid) (ans+=query(L,R,rson))%=mod;
    return ans;
}
void dfs1(int u,int ff)
{
    dep[u]=dep[ff]+1;fa[u]=ff;size[u]=1;
    int maxn=0;
    for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to) if(v!=ff)
    {
        dfs1(v,u);
        size[u]+=size[v];
        if(size[v]>maxn) maxn=size[v],son[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u,int topf)
{
    id[u]=++tim;wn[tim]=w[u];
    top[u]=topf;
    if(!son[u]) return;
    dfs2(son[u],topf);
    for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to) if(v!=fa[u]&&v!=son[u])
        dfs2(v,v);
}
void update_tree(int u,int v,int val)
{
    while(top[u]!=top[v])
    {
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        update(id[top[u]],id[u],val,1,n,1);
        u=fa[top[u]];
    }
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    update(id[v],id[u],val,1,n,1);
}
int query_tree(int u,int v)
{
    int ans=0;
    while(top[u]!=top[v])
    {
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        ans=(ans+query(id[top[u]],id[u],1,n,1))%mod;
        u=fa[top[u]];
    }
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    return (ans+query(id[v],id[u],1,n,1))%mod;
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),r=read(),mod=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    for(register int i=1;i<n;i++)
    {
        u=read(),v=read();
        add(u,v);add(v,u);
    }
    dfs1(r,r);dfs2(r,r);
    build(1,n,1);
    while(m--)
    {
        op=read();
        if(op==1)
        {
            x=read(),y=read(),z=read();
            update_tree(x,y,z);
        }
        else if(op==2)
        {
            x=read(),y=read();
            printf("%d
",query_tree(x,y)%mod);
        }
        else if(op==3)
        {
            x=read(),y=read();
            update(id[x],id[x]+size[x]-1,y,1,n,1);
        }
        else
        {
            x=read();
            printf("%d
",query(id[x],id[x]+size[x]-1,1,n,1));
        }
    }
    return 0;
}