codeforces gymIncreasing Costs

Posted 2021-01-21 yoyoball

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Description

　　给你一个(n)个点无重边无自环的无向连通图，每条边有一个边权，对于每一条边，询问去掉这条边之后有多少个点到(1)号点的最短路会发生改变

　　

Solution

　　会用到一个叫做灭绝树的东西（这个名字好霸气qwq）

?　　其实不算是什么特别高大上的玩意：灭绝树其实就是一个点灭绝后它的子树内的所有点都灭绝

?　　然后所谓的“灭绝”其实可以理解为。。满足什么条件之类的，在不同的题目中有所不同（比如说在这题里面就是。。走不到）

? 　　

　　然后这道题的话，因为是删边，我们可以将边也看成一个点

　　首先求出到(1)的最短路，然后对于原图中的一条边权为(w)的边((i,j))，如果说(dis[j]=dis[i]+w)的话，就在新图中连((i,num))和((num,j))的有向边，其中(num)表示的是这条边对应的节点

　　注意到如果说我们将一条边删掉，也就是相当于将这条边对应的节点(num)删掉，由于这条边删掉了，由这条边得到的最短路也就不能走了，对应到新图中就是(num)这个节点不能走到，接着那些的只能由它走到的后继也就不能走到了，以此类推

　　所以我们考虑用这样的方式建一棵树：我们将新图所有的边反过来建，然后对整个反过来的新图拓扑排序，从后往前处理每一个节点在树上面的(fa)，那么处理到一个节点的时候，新图中所有能走到当前节点的点的(fa)都已经处理好了，然后我们将当前节点的(fa)设为所有能走到这个节点的那些点的(lca)

?　　这样建完之后会发现，删掉一条边对应的点(num)之后不能走到的点其实就是其整个子树中的点

　　所以我们只要建出树之后计算一下每个节点的子树大小就好了

　　

?　　代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=4e5+10,TOP=20;
const ll inf=1LL<<60;
struct xxx{
    int y,nxt,id,dis;
}a[N*2];
struct Data{
    int node;
    ll dis;
    Data(){}
    Data(int node1,ll dis1){node=node1; dis=dis1;}
    friend bool operator < (Data x,Data y){return x.dis>y.dis;}
};
priority_queue<Data> q;
queue<int> q1;
vector<int> pre[N];
int lis[N];
int h[N],f[N][TOP+1],dep[N];
ll dis[N];
int vis[N],d[N],sz[N];
int n,m,tot,S;
void add(int x,int y,int dis,int id){a[++tot].y=y; a[tot].nxt=h[x]; h[x]=tot; a[tot].id=id; a[tot].dis=dis;}
void print(vector<int> x){
    for (int i=0;i<x.size();++i) printf("%d ",x[i]); printf("
");
}
void dij(){
    int u,v;
    while (!q.empty()) q.pop();
    for (int i=1;i<=n;++i) dis[i]=inf,vis[i]=false;
    dis[S]=0;
    q.push(Data(S,dis[S]));
    while (!q.empty()){
        v=q.top().node; q.pop();
        if (vis[v]) continue;
        vis[v]=1;
        for (int i=h[v];i!=-1;i=a[i].nxt){
            u=a[i].y;
            if (vis[u]) continue;
            if (dis[u]>dis[v]+a[i].dis){
                dis[u]=dis[v]+a[i].dis;
                q.push(Data(u,dis[u]));
            }
        }
    }
    for (int x=1;x<=n;++x){
        for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
            u=a[i].y;
            if (dis[u]==dis[x]+a[i].dis){
                pre[u].push_back(a[i].id+n);
                pre[a[i].id+n].push_back(x);
                ++d[a[i].id+n];
                ++d[x];
            }
        }
    }
}
int get_lca(int x,int y){
    if (!x||!y) return x+y;
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);   
    for (int i=TOP;i>=0;--i)
        if (dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i=TOP;i>=0;--i)
        if (f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}
void topo(int n){
    int u,v;
    while (!q1.empty()) q1.pop();
    for (int i=1;i<=n;++i)
        if (d[i]==0) q1.push(i);
    lis[0]=0;
    while (!q1.empty()){
        v=q1.front(); q1.pop();
        lis[++lis[0]]=v;
        for (int i=0;i<pre[v].size();++i){
            u=pre[v][i];
            --d[u];
            if (!d[u]) q1.push(u);
        }
    }
}
void get_fa(int x){
    int lca,Sz=pre[x].size();
    if (Sz==0){
        f[x][0]=0;
    }
    else if (Sz==1)
        f[x][0]=pre[x][0];
    else if (Sz>=2){
        lca=get_lca(pre[x][0],pre[x][1]);
        for (int i=2;i<Sz;++i)
            lca=get_lca(lca,pre[x][i]);
        f[x][0]=lca;
    }
    for (int i=1;i<=TOP;++i) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
    dep[x]=dep[f[x][0]]+1; 
    sz[x]=(x<=n);
}
void solve(){
    topo(n+m);
    for (int i=lis[0];i>=1;--i)
        get_fa(lis[i]);
    for (int i=1;i<=lis[0];++i)
        sz[f[lis[i]][0]]+=sz[lis[i]];
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    int x,y,z;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof(h));
    tot=0;
    for (int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z,i);
        add(y,x,z,i);
    }
    S=1;
    dij();
    solve();
    //for (int i=1;i<=n+m;++i) printf("%d " ,f[i][0]); printf("
");
    for (int i=1;i<=m;++i)
        printf("%d
",sz[i+n]);
}