Conway生命游戏

Posted 2021-01-21 colin-cai

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　　1970年，英国数学家Conway发明了生命游戏。抛开元胞自动机的复杂概念，我们只是去感受一下二维的生命游戏，这其实是元胞自动机的一个特例。

　　

　　生命游戏

　　

　　我们先考虑有限的情况，对于mXn的方格，每个方格都会有一个状态，该状态有两个可能值：有生命、无生命。

　　

　　如上图8X8的方格，红色的格子代表状态为有生命，白色的格子代表状态为无生命。

　　生命游戏是一代一代的演化，每一代就是所有格子的一组状态。我们来说演化规则，对于每个格子，我们来数这个格子所有的周围格子状态为由生命的数目。

　　这里的周围格子是指：这个格子的上、下、左、右、左上、右上、左下、右下这8个格子。当然，有例外，角上的格子只有3个周围格子，而边上的格子只有5个周围格子。

　　于是，我们把上面这个图的每个格子的周围有生命格子数目标注出来。

　　

　　下一代所有格子状态由以下规则确定：

　　1.如果周围有生命格子的数目小于2，则下一代这个格子状态为无生命(解释为太孤单)。

　　2.如果周围有生命格子的数目大于3，则下一代这个格子为无生命(解释为周围生命太多，资源消耗厉害)。

　　3.如果周围有生命格子的数目等于2，则下一代这个格子的状态继续保持当前的状态。

　　4.如果周围有生命格子的数目等于3，则下一代这个格子的状态为有生命。

　　

　　于是，下一代应为如下：

　　

　　

　　把各代组成动画如下：

　　

　　只可惜这个到了第6代，所有的格子都变成无生命状态。

 

　　震荡子

 

　　有一类神奇的图案，可以反复不断的循环，称为震荡子。

 

　　

　　上面这个震荡子周期为15。

 

　　枪型图

　　

　　下面这个图是Bill Gosper于1970年发现的第一个Gun，你看那一个个向右下方向而去的像不像“子弹"？实际上，Gun描述的是一个无限的方格，因为子弹是在不断变多的，图形的尺寸实际上会越来越大，但在有限的方格情况下其实是震荡子(下图实际上是虚拟的从无限的方格中截取的有限图像)。

　　

　　

　　这是发现的第二个Gun。

　　

　　以我的能力，我是完全不知道这两个Gun是怎么被拼出来的。

　　

　　程序实现

 

　　生命游戏规则简单，我想在学习程序的过程中实现一个并不是什么难事。

　　我上面的这些动画实际上也是用程序生成的，我推荐python用cv2库，它属于opencv，开发效率还是很高的。

　　真想从底层动手，那就用C语言造轮子吧，只要体力好，也没什么不可以。

　　如果要生成bmp，研究一下bmp文件的格式,wiki上就有，https://en.wikipedia.org/wiki/BMP_file_format

　　如果想要jpeg，那么可以使用libjpeg，只是libjpeg只有从bmp文件转成jpeg，默认接口里没有从内存转的，这可能不太方便，需要的话得自己来加个接口，很多年前我加过。

　　

　　计算周围生命格子数目

　　

　　我想大部分的人来计算都是对于某个点，依次数周围的格子，然后挨个相加，从而计算整个矩阵的加法数量的线性系数是7（因为大多格子周围都是8个格子，要做7次加法），也就是加法数量除以矩阵规模(节点数)的极限为7。

　　如果只从加法数量来说，这个规模不能让人满意。下面这个方法会好很多。

 

　　第一步，同行的两两结对相加。

　　

　　a_0,0+a_0,1 a_0,2+a_0,3 a_0,4+a_0,5 ...

　　...

　　a_n,0+a_n,1 a_n,2+a_n,3 a_n,4+a_n,5 ... 

　　...

　　这样使用线性系数0.5次加法

　　

　　第二步，每个格子再多加一次得到这个格子自身和左、右两格的和。

　　

　　显然，这次使用加法数量系数为1。

　　于是我们看到了，使用系数为1.5的加法数量就完成了每个格子自身和左、右两格的和，而本来平凡的手段这个系数为2。

 

　　第三步，在此基础上，使用第一步、和第二步，只是第一步和第二步从矩阵的横向考虑，现在统统改成纵向。

　　

　　这样就得到了每个格子以自身为中心的九宫格的九个格子之和。

　　这样累计一下，系数翻个倍，为3。

 

　　第四步，上面其实多加了自身这个格子，于是减掉自身。

　　系数就变成4，比之前7要好。

 

　　以上只是简单的说一说道理，而真正在优化卷积、中值滤波等应用的时候，要比这个复杂的多。

 

　　稀疏矩阵

 

　　先放个动画。

　　

　　我们似乎在上述动画中看到了星际战争^_^

　　图像中大多数格子的状态都是无生命，这种情况下，如果还是依次去计算矩阵的每一个格子，是个很大的浪费。

　　实际上，我们只需要记录其中状态为有生命的格子就行了，这是因为，下一代有生命的格子就在这一代有生命的格子的近旁。

　　这就是稀疏矩阵的出发点，当然，稀疏矩阵本身有着非常多的算法，基本都是本着相近的元素会发生相互作用，从而相近的元素要给予更为快速的查找。对于完全无序的集合，稀疏矩阵的元素一旦多起来，效率非常低下。

　　有兴趣的就自己去研究吧，比如四叉树就是常用的空间索引。