动态规划专题——斜率优化DP

Posted 2021-01-20 chenxiaoran666

前言

斜率优化(DP)是难倒我很久的一个算法，我花了很长时间都难以理解。后来，经过无数次的研究加以对一些例题的理解，总算啃下了这根硬骨头。

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基本式子

斜率优化(DP)的式子略有些复杂，大致可以表示成这样：

[f_i=min_{j=1}^{i-1}(A(j)-B(j)*S(i)+C(i))]

其中(A(j))和(B(j))是两个只与(j)有关的函数，(S(i))和(C(i))是两个只与(i)有关的函数，式子中的(min)其实也可以替换成(max)，但这里以(min)为例。

不难发现，如果只有(A(j))和(C(i))两项，就是单调队列优化(DP)的基本式子了。

但是，由于式子中含有(B(j)*S(i))这一项既与(i)相关，又与(j)相关的式子，就不能直接用单调队列，而要进行一定转化了。

考虑将(A(j))移到等号左边，并将(f_i)移到等号右边，则原式可以转化成这样：

[A(j)=B(j)*S(i)+(f_i-C(i))]

注意，在(i)不变的时候，我们可以将只与(i)有关的项看成常数项。

于是，这个函数就可以看作一条直线，其中(S(i))就相当于这条直线的斜率，而(f_i-C(i))就相当于这条直线的截距。

而(C(i))是固定的，因此，如果要让(f_i)最小，则应让(f_i-C(i))最小，对应到图像中就是让截距最小。

那么应如何让截距最小呢？

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大致思路

首先，我们可以想象有一条斜率固定的直线（我太懒，不想画图... ...），然后图上有若干个点，现在要用这条直线从图的最下方往上慢慢移动，直至碰到第一个点，而这个点就是我们要找的最优点。

则不难发现，如果连续的三个点呈上凸状，则无论该直线斜率取多少，碰到的第一个点都不可能是中间这个点。

换句话说，就是中间这个点对答案没有任何贡献了。

于是就有一个策略：当我们要加入一个新的点时，比较当前点与前一个插入的点(S_1)、前一个插入的点与倒数第二个插入的点的斜率(S_2)，如果(S_1le S_2)，则可将前一个插入的点弹出。

重复此操作，直至(S_1>S_2)或图上只剩一个点，然后将当前点插入。

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如何求最优解

但是，这样一来，我们好像还是没能求出最优解。

此时又有两种操作方式：在凸包上二分或单调队列维护最优解。

对于某些问题，它可以确保决策单调性，即一个点如果当前不是最优解，则以后都不可能是最优解了。这样的问题可以直接用单调队列来维护最优解。

但有些问题却不一定满足这种性质，此时就需要在凸包上二分最优解了，但依然需要用单调队列来维护点集。

所以，如果你不会单调队列，最好赶紧去研究一下，然后再学习斜率优化(DP)。

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几道例题

第一道例题： 【BZOJ2726】[SDOI2012] 任务安排

听说是入门题？洛谷上的弱化版可以直接单调队列维护，但是(BZOJ)上存在负数，需要在凸包上二分。

第二道例题： 【CF311B】Cats Transport

一眼看上去像是(WQS)二分，其实题意转换后可以直接斜率优化。

第三道例题： 【洛谷3648】[APIO2014] 序列分割

一开始觉得是区间(DP)，结果一看数据范围，推了波性质，才发现其实可以用斜率优化(DP)来做。