CH6201 走廊泼水节最小生成树

Posted 2021-01-20 wyboooo

6201 走廊泼水节 0x60「图论」例题

描述

【简化版题意】给定一棵N个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。求增加的边的权值总和最小是多少。

我们一共有N个OIER打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有N个水龙头(至于为什么，我不解释)。N个水龙头之间正好有N-1条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的..)。但是OIER门为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密~),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接(也就是构成一个完全图呗~)。但是OIER门很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那N-1条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要大于两个水龙头之前连接的所有小道(小道当然要是最短的了)。所以神COW们，帮那些OIER们计算一下吧，修建的那些道路总长度最短是多少，毕竟修建道路是要破费的~~

输入格式

 本题为多组数据~
 第一行t，表示有t组测试数据
 对于每组数据
 第一行N，表示水龙头的个数（当然也是OIER的个数）；
 2到N行，每行三个整数X,Y,Z；表示水龙头X和水龙头Y有一条长度为Z的小道

输出格式

 对于每组数据，输出一个整数，表示修建的所有道路总长度的最短值。

样例输入

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5 

样例输出

4
17 

数据范围与约定

•  每个测试点最多10组测试数据
   50% n<=1500;
   100% n<=6000
   100% z<=100

样例解释

第一组数据，在2和3之间修建一条长度为4的道路，是这棵树变成一个完全图，且原来的树依然是这个图的唯一最小生成树.

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题意：

题意题目第一段【简化版题意】讲得很清楚了，不重复了。

思路：

写这道题首先要清楚最小生成树kruskal算法的思想。

kruskal其实就是先将边按权值排序，使用并查集，从小到大扫描边，依次合并点的集合。

比如我们现在扫描到边$e_i$，他的终点是$x$和$y$，他们分别属于集合$S_x$集合$S_y$。

kruskal的过程就是把$S_x$和$S_y$合并，把$e_i$加入到答案中。

现在如果我们要添加边使得他变成完全图的话。那么原来集合$S_x$和集合$S_y$应该只有$e_i$这一条边可以使他们连通。

现在我们就要对每一对$uepsilon S_x$, $vepsilon S_y$添加一条边，为了使$e_i$仍在最小生成树中，添加的每条边都应该大于$e_i$的权值$z$

又要使答案最小，所以应该添加权值为$z+1$的边。添加的边的条数应该是$size(S_x) * size(S_y) - 1$

 1 #include<iostream>
 2 //#include<bits/stdc++.h>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstdlib>
 6 #include<cstring>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<queue>
 9 #include<vector>
10 #include<set>
11 #include<climits>
12 #include<map>
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 #define N 100010
16 #define pi 3.1415926535
17 #define inf 0x3f3f3f3f
18 
19 int t, n;
20 const int maxn = 6005;
21 int fa[maxn], cnt_son[maxn];
22 struct edge{
23     int u, v, w;
24 }e[maxn];
25 bool cmp(edge a, edge b)
26 {
27     return a.w < b.w;
28 }
29 
30 int get(int x)
31 {
32     if(x == fa[x])return x;
33     return fa[x] = get(fa[x]);
34 }
35 
36 
37 int main()
38 {
39     scanf("%d", &t);
40     while(t--){
41         scanf("%d", &n);
42         for(int i = 0; i < n - 1; i++){
43             scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w);
44         }
45         sort(e, e + n - 1, cmp);
46         for(int i = 1; i <= n; i++){
47             fa[i] = i;
48             cnt_son[i] = 1;
49         }
50 
51         int ans = 0;
52         for(int i = 0; i < n - 1; i++){
53             int x = get(e[i].u);
54             int y = get(e[i].v);
55             if(x == y)continue;
56             ans += (e[i].w + 1) * (cnt_son[x] * cnt_son[y] - 1);
57             fa[x] = y;
58             cnt_son[x] = cnt_son[y] = cnt_son[x] + cnt_son[y];
59         }
60         printf("%d
", ans);
61     }
62     return 0;
63 }