ST算法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了ST算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  ST算法用于解决RMQ(Range Minimum/Maximum Query)的问题。解决RMQ有三种实现的方法: 1.基于分治的树状数组  2.基于分治的线段树  3.动态规划下的ST表算法。点这里查看它们的复杂度和区别。ST算法无法修改、O(1)的查询、O(nlogn)的预处理;

  分析数组a的区间最小值。约定数组 a1~10 :4 7 9 6 3 2 8 5 1 6

O( nlogn )的预处理

  用 dp[ i ] [ j ] 表示 从 i 位置开始,长度为 2 ^ j (下文也称步长)这一段的最小值。dp [ 3 ] [ 2 ]=min(a3~a3+4-1),dp [ 2 ] [ 3 ]=min(a2~a2+8-1)。如 dp[ 4 ] [ 2 ] 表示从 4 位置(即数字 6),长度为 4(2 ^ 2)的最小值,即 6 3 2 8 的最小值,显然 dp[ 4 ] [ 2 ] =2;

  求dp[ ] [ ] 数组的过程是:

  先求 dp[ i ] [ 0 ] ,再求 dp [ i ] [ 1 ],再求 dp [ i ] [ 2 ],再求 dp [ i ] [ 3 ] …… 这里的 i 定会满足 i+2 ^ j -1 <= 10(数组长度)【1】,当然 dp[ i ] [ 0 ]=a i 

  对于 dp [ 1 ] [ 2 ] ,该如何求?由于长度2 ^ j (j>1)总是可 一半一半 的,所以对于步长2 ^ j 的一段来说,我们分两等长段,两段中各自最小值的较小者,就是整段的最小值

  不难证明 dp [ 1 ] [ 2 ] = min(dp [ 1 ] [ 1 ],dp [ 1+2 ] [ 1 ] )

    即:min(a1~a4)=min( min(a1~a2),min(a3~a4))

  推到一般情况,再巧用位运算(和乘除运算同级,写的时候要格外注意) dp [ i ] [ j ] = min(dp [ i ] [ 1<<(j-1) ],dp [ i+1<<(j-1) ] [ 1<<(j-1) ] )

  前面说到 先求 dp [ i ] [ 1 ],再求 dp [ i ] [ 2 ],再求 dp [ i ] [ 3 ]……因此 每一个 i 循环结束,才会进行 j 循环。从式子也能看出,正是得到了 每个 dp[ i ] [ j-1 ],我们才能得到 dp [ i ] [ j ]。因此 j 循环是外层循环,i 是内层。

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void pre_set()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dp[i][0]=a[i];
    for(int j=1;j<20;j++)
    {
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
        {
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
pre_set()

O(1)的查询

  ST算法不能修改,但有O(1)的查询。现有查询 query( l , r ) (区间长度 r - l + 1 ),如何使用dp [ ] [ ] 数组,快速得到答案?——计算这样的 k ,2 ^ k= ( r - l + 1 ),如果 k 刚好为整数,那么dp [ l ] [ k ] 就是答案,比如 query( 3 , 6 ),则 k = 2,dp [ 3 ] [ 2 ] =min(a3~a3+4-1)= 2 就是答案;可数据随机的话,肯定大部分的 k 都不是整数,那么就没有 dp [ l ] [ x ] 刚好对应 r - l + 1 这个长度,但是可以从区间左右端点开始找相同步长的两个 dp 值,比如 query ( 2 , 10 ) = min( a2 ~ a10 ),找不到整数 k 满足那个式子,但是 min( a2 ~ a10 )= min( min( a2 ~ a9 ),min( a3 ~ a10 )),这样两段都有确切的 dp 值了。此时的步长需要非整数 k 向下取整(这两段是不能隔断的,k = floor ( log2( r - l + 1) ,),因为满足 2 ^ k > ( r - l + 1 ) 的 k ,dp [ l ] [ k ] 的值牵扯到 [ l , r ] 之外的 a 值,是不可能的。当 k 为整数时,分的两段是相同的,不影响结果,可一并考虑。

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void query(int l,int r)
{
    int k=0;
    while(1<<(k+1)<=r-l+1)
        k++;
    return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}
query()

  当数据规模非常大时,每次这样找 k 是不行的,浪费很多时间,所以就可以预处理出每个 k ,代码如下:

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void lg_init()
{
    lg[0]=-1;
    for(int i=1;i<M;i++)
        lg[i]=lg[i>>1]+1;
}
lg_init()

 最后,整个算法

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const int M=1e5+5;

int n;
int a[n];
int lg[M];
int dp[M][20];

void pre_set()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dp[i][0]=a[i];
    for(int j=1;j<20;j++)
    {
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
        {
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

void lg_init()
{
    lg[0]=-1;
    for(int i=1;i<M;i++)
        lg[i]=lg[i>>1]+1;
}

void query(int l,int r)
{
    int k=lg[r-l+1];
    return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}
RMQ

 

以上是关于ST算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

有人可以解释啥是 SVN 平分算法吗?理论上和通过代码片段[重复]

片段(Java) | 机试题+算法思路+考点+代码解析 2023

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