挑战程序设计 初级篇 动态规划

Posted 2021-01-19 lyhhahaha

1.01背包问题

1.朴素的二维数组解法

dp[i][j]表示前i件物品装入容量是j的背包所能获得的最大价值

状态转移方程是dp[i][j]=（1）dp[i-1][j](在第i件物品装不下的情况下)

（2）max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])(装的下的情况下，装和不装都试一下)

#include<iostream>
using namespace std;
int n,w[100],v[100],dp[100][10000],ww;//w表示重量，v表示价值
void solve()
{
    int i,j;
    cin>>n>>ww;//ww是背包容量 
    for(i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];//输入n个物品的重量 
    for(i=1;i<=n;i++)cin>>v[i];//输入n个物品的价值
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=ww;j++)
        {
            if(j<w[i])dp[i][j]=dp[i][j-1];//如果放不下的话就不放 
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);//放的下的话，选放和不放的最大值 
        } 
    cout<<dp[n][ww]<<endl;//n个物品，容量是ww的背包能装下的最大价值 
}
int main()
{
    solve();
}

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2.滚动数组的解法

滚动数组的解法时间复杂度没有变化，都是O(n*ww)，但是减少了空间复杂度

状态转移方程：dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])(max里的dp[j]表示前i-1件物品装入容量j的背包获得的最大价值)

#include<iostream>
using namespace std;
int ww,n,w[100],v[100],dp[10000];//n个物品，背包容量ww
void solve()
{
    int i,j;
    cin>>n>>ww;
    for(i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
    for(i=1;i<=n;i++)cin>>v[i];
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=ww;j>=w[i];j--)//这种情况下一定装的下(装不下的情况就是dp[j]=dp[j]所以不加if判断)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    cout<<dp[ww]<<endl;
}
int main()
{
    solve();
}

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3.背包容量可能特别大的情况