[Noi2002]Savage（欧几里得拓展）

Posted 2021-01-19 alingmaomao

题意：在一个岛上，有n个野人。这些人开始住在c号洞穴，每一年走p个洞，而且他的生命有L年.问如果岛上的洞穴为一个圈，那么这个圈至少有多少个，才能使他们每年都不在同一个洞穴里。

分析：先假设一种简单的情况！假设有2个人。

　　　第一个人：c：1， p：2　，L=3

　　　第二个人：c:   2,   p:   3,　  L=4

假如：一共有8个洞：如图：

                                                                          　　　　这样就能保证。

数学知识：欧几里得拓展

　　　　　不定方程ax+by=c,由得，若x，y有整数x解（正负无所谓，但是注意正数解，在mod运算中）则， c能被gcd（a， b）;

分析：如果，有两个野人在某一个洞穴相遇，则表明 （p1-p2）x+by=c1-c2;  有解。但是，如果他的最小整数解都小于两个野人的寿命，则也可以。

　　　那么，就是在枚举一共有多少山洞，然后判断是否满足。第一个满足的就是最小的洞数。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int c[20], p[20], L[20];
int n;

int gcd(int a, int b){
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if (b == 0){ x = 1; y = 0; return; }
    exgcd(b, a%b, x, y);
    int  t = x; x = y;    y = t - a / b*y;
}
bool fun(int  m){
    int x, y, A, B, C, t;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i + 1; j <= n; ++j){
        A = p[i] - p[j];    B = m;    C = c[j] - c[i];
        t = gcd(A, B);
        if (C%t == 0){
            A /= t;    B /= t;    C /= t;
            exgcd(A, B, x, y);
            B = abs(B);
            x = ((C*x) % B + B) % B;
            if (x <= min(L[i], L[j]))return 0;
        }
    }
    return 1;
}
int main()
{
    int maxn = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d%d%d", &c[i], &p[i], &L[i]);
        maxn = max(maxn, c[i]);
    }
    for (int i = maxn;; ++i){
        if (fun(i)){ printf("%d
", i); return 0; }
    }
}