算法学习——动态规划之点数值三角形的最小路径

Posted 2021-01-19 kexing

算法描述

在一个n行的点数值三角形中，寻找从顶点开始每一步可沿着左斜或者右斜向下直到到达底端，使得每个点上的数值之和为最小

右图为一个4行的点数值三角形

算法思路

1. 接收用户输入行数n

2. 使用一个二维数组a[n+1][n+1]来存放各个点上的数值,数值可以由用户输入或者是随机生成

3. 定义一个二维数组（用来存放方向）direction[n+1][n+1]，存放1或0，1代表右，0代表左

4. 定义一个二维数组b[n+1][n+1] 表示到底端的数值之和

   以上图4行的点数值三角形为例

   b[4][1]=47 b[4][2]=93

   b[3][1]=43

   这里b[3][1]是可以等于47，也可以等于93，但题目要求的是最小，所以这里取小的值

   b[3][1]其实是由逆推得到的，具体看下面

5. b[n+1][n+1]的递推关系

   • 初始值

     从最后一行开始

     b[n][i]=a[n][i] i遍历完最后一行的所有元素

   • 递推关系

     b[n][i]=Math.min(b[n+1][i],b[n+1][i+1]) 取最小值

算法实现

    System.out.println("输入数字三角形的行数n：");
    Scanner scanner = new  Scanner(System.in);
    int n = scanner.nextInt();
    scanner.close();
    int[][] a= new int[n+1][n+1];

    //随机赋值数字三角形
    for(int i=1;i<n+1;i++){
        for(int j =1;j<=i;j++){
            a[i][j] = (int) (Math.random()*100);
        }

    }
    //输出数字三角形
    for(int i=1;i<n+1;i++){
        for(int j =1;j<=i;j++){
            System.out.print(a[i][j]+"    ");
        }
        System.out.println("");

    }

    int[][] b = new int[n+1][n+1];
    int[][] direction = new int[n+1][n+1];//0是左，1是右

    //最后一行的长度为其本身
    for(int i=1;i<n+1;i++){
        b[n][i] = a[n][i];
    }

    //关键逆推代码
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            if(b[i+1][j+1]<b[i+1][j]){
                b[i][j]=a[i][j] + b[i+1][j+1];
                direction[i][j]=1;//右边的数值较大，则记录方向为右

            }else{
                b[i][j]=a[i][j] + b[i+1][j];
                direction[i][j]=0;//左边的数值较大，则记录方向为左
            }
        }
    }
    System.out.println("最小路径和为"+b[1][1]);
    int flag = 1;
    int j=1;
    //循坏结束
    while(flag!=n){
        System.out.print(a[flag][j]);
        if(direction[flag][j]==1){
            System.out.print("->向右");
            flag++;
            j++;

        }else{
            System.out.print("->向左");
            flag++;
        }

    }
    System.out.print("->"+a[flag][j]);

}
    

结果