PCA原理解释

Posted 2021-01-19 xiashiwendao

 

上图讲述的两组数据，可以看到左图的数据离散度比较大，相关性比较弱，右图数据的相关性比较强；我们在使用PCA的时候，就是要将相关性强的数据进行降维，以减少处理的数据量。

那么怎么描述数据的相关性呢？使用期望，协方差以及相关系数：下面分别是左图和右图的数字特征：

 

其实其关键性做得是R，R说明了点间的相关性，但是想要知道R你必须要知道Sigma(X)，想要知道Sigma(X)你有必须要知道期望，所以获取点间的关系，必须要求得期望和协方差。

协方差的价值有量个：

1.协方差大于零说明两套数据变化趋势是一致的；

2. 协方差=0，说明数据没有相关性

注意，这里说的是协方差，对于方差而言，方差值大小代表数据离散程度。

协方差矩阵的作用：

1. 对角线上面的是数据的方差；

2. 无关数据的形式除了对角线上的数据，其他都是0.

那么我们现在目标是找到一个新的坐标系，将xy坐标系中相关数据进行映射，保证了在新的坐标体系下面，数据是不相关的，即：他们的协方差矩阵除了对角线之外全为0。

假设存在这个平面，之前的数据为x，新的映射平面y，有

y = Gx，G为常量矩阵，实现了x数据的伸缩和旋转，这里应该主要是旋转；

于是，这个新的坐标系下面的y可以推导为：

sigma(y) = E{[y - E(y)][y - E(y)].T}

sigma(y) = E{[Gx - E(Gx)][Gx - E(Gx].T}

sigma(y) = GE{[x - E(x)][x - E(x)].T}G.T

sigma(y) = Gsigma(x)G.T

因为目标是sigma(y)中，除了对角线，其他点都是0， 为了满足这一点，首先G应该是sigma(x)的特征矢量的转置，而且是一个正交矩阵，这样就满足了最终的结果是：

对角线的值就是各个维度的方差值。同时按照从大到小的排列，这里采用的是K-L变换（霍特林变换）。所谓的主成分，就是排在前面的几个λ对应的特征，取决于你打算要几个主成分。

然后，用x去乘以所选取的特征向量组（所选的几个λ对应的特征向量），这个操作本质完成的数据的旋转，将数据旋转到一个维度减少"平面"，这个平面能够包含主成分的数据（非主成分的数据飞出平面也无所谓了，所谓主成分就是大多数的数据）；所谓包含即使指投影，将原来空间的数据项旋转后的平面做投影。

PCA的的协方差部分解释完了，下面就是在上面最后提到了特征矢量（特征向量），什么是特征向量？对于方阵矩阵A：

Ax = λx

λ称之为方阵A的特殊值，x就是方阵A对应λ的特征向量，由定义的公式可以变型为：

(A - λE)x = 0

其中|A - λE|称之为特征多项式。求λ的思路就是首先求行列式|A - λE| = 0来获得特征值；然后再将将特征值带入到(A - λE)x = 0中可以求得基础解系pi，k*pi都是A的特征向量。

紧接着，我们看一下什么是基础解系呢？

基础解系首先是向量组线性相关的概念，在介绍基础解系之前要明白什么是解向量：

上式可以简化写成向量方程：Ax = 0；

那么向量[x1,x2,x3...,xn)就是方程(1)的解向量，是Ax=0的解。

解向量有如下的性质：

1) A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = 0

2) A(kx1) = kA(x1) = 0

由上可得：x = k1x1 + k2x2 + ... + knxn，这个就叫做方程Ax = 0的通解；

齐次线性方程组的最大无关组，称之为该齐次线性方程组的基础解系，所以求通解，只要把基础解系（即x1,x2,...,xn)求出来，既可以求得通解。

在求解过程上，首先将矩阵A进行最简行变化，选择转化为方程式，然后从中选取n - r个变量作为非自有解，指定具体的值，从而推算出r个自由变量的值，这个r个自由变量的值就是在配上之前的非自由解，就确定了一组基础解析。在求解基础解系的过程中，用到了一个定理：

设m * n矩阵，R(A) = r，则n元齐次线性方程组Ax = 0的解集S的秩Rs = n - r。

说明：设R(A) = n的时候，没有基础解析，只有零向量；R(A) < n的时候，方程式的基础解系中包含有n - r个解。根据最大无关性质，方程组（1）中任意n - r个解都可以组成一个基础解系，所以，方程组的基础解系并不唯一 => 通解形式也不唯一。

一个一个的来捋，首先思考一下为什么R(A) = n只有零向量呢？首先要建立一个概念，就是矩阵方程的理念是用别的变量来表示变量，例如下面的情况：

x1 = -x2 +2 * x3 - x4 - 4 * x5

x2 = x3 - x4

x4 = 3 * x5

x1, x2, x4叫做非自由变量，因为他们是需要其他变量来进行表示；设想一下，如果R(A) = n将会发生什么情况：xn = 0！满秩代表着x[n-1]是由xn表示，那么=>x[n-1]是0以此类推，所有的x都是0，所以，如果R(A) = n，那么只有零解。

第二个，里面提到了"最大无关性质"，什么是最大无关？上面我们提到了非自由变量有自由变量线性来表示；这个其实就是"线性表示"，只有向量组（矩阵）是线性相关的时候才时候，才能够实现线性表示。那么什么是线性表示？除了公式中给出的表示之外，在二维空间里面，线性相关代表共线，在三维空间中，代表共面。

最大无关组：

1）向量组A0：a1, a2, a3, ..., ar线性无关；

2）向量组A中任何r+1个向量都是线性相关的，那么

称A0为最大无关向量组，简称最大无关组。最大无关组所包含向量的数量，称之为秩。

 

好了，这次就先挖到这里吧。

 

参考：

 

中心化（又叫零均值化）和标准化（又叫归一化）

https://blog.csdn.net/GoodShot/article/details/80373372

图像处理中的数学原理详解20——主成分变换（PCA）

https://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/50372906

图像处理中的数学原理详解21——PCA实例与图像编码

https://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/50373143