noip级别模板小复习

Posted 2021-01-19 tyher

不是很noip的知识点就不写了。

dij什么的太easy就不写了。

缩点

• 注意(Tarjan)在缩边双和求强联通分量时候的区别。
• 一个要判断是否在栈内一个不要。
• 最后(topsort)来(dp)，或者记忆化搜索，但是一定要记得初值为(-1)。
• 考虑图不联通。

负环

• 考虑图不联通。
• 一开始(dis=0)，判断最短路长度大于(n)会好一些。
• (dfs)型(spfa)是指数级的。

ST表

• 注意是(i)到(i+2^k-1)。
• 所以预处理的时候不要减1，因为已经减过了。查询的时候要加1因为要把减去的1去掉。

Mx[j][i]=max(Mx[j-1][i],Mx[j-1][i+(1<<(j-1))]);
printf("%d
",max(Mx[k][l],Mx[k][r-(1<<k)+1]));

• (O(n))预处理(log)。

线性基

• 用于查询多个数异或问题，本质是高斯消元，也可以用来解方程（(flash)的考试题）。
• 记得(1ll)，线性基的值域与原数组的值域相同，且各个之间线性无关。
• 如果要查询某个数，就是查找某个数是否可以由这(n)个数中任一个数异或得到。首
• 从高到低扫这个数的每一位，如果这第(i)位为(1)，就异或上(P_i)，然后知道处理到最后一位。如果变成 (0) 了，那么就是可以的。
• 查询第(k)大数。
• 查询异或集合中k小值
• 我们考虑改造一下线性基，使得每一位互相独立。
• 如果(j<i)，且(p_i)的第(j)位是(1)，就把(p_i xor p_j)。
• 这样，对于二进制的每一位(i)。只有(p_i)这一位是(1)，其他的都是(0)。
• 同样，这个线性基的本质也是没有改变的。
• 我们查询的时候，将(k)进行二进制拆分，如果第(i)位是(1)，就异或上线性基中第(i)个元素，最终得出的答案就是(k)小值。
• 此外，需要对非满秩的矩阵进行特判。因为其存在(0)的结果，如果要求最小，那么就是(0)。
• 如果不是，那么就是求当前矩阵下的第((k-1))小。

splay 区间反转

• 和(lct)一样，注意栈序下放标记

S[S[0]=1]=x;
for(R i=x;fa[i];i=fa[i])S[++S[0]]=fa[i];
while(S[0])push(S[S[0]--]);

• 一定要记得先(find)到目标点再转到根而不是直接做。这里的(find)和整体二分是不一样的！

push(x);
if(k<=sz[ls])x=ls;
else if(k==sz[ls]+1){spl(x,gl);return x;}
else k-=(sz[ls]+1),x=rs;

• 提醒几个常见小错误：

void rot(R x){
    R y=fa[x],z=fa[y],k=son(x);
    ch[z][son(y)]=x,fa[x]=z;
    ch[y][k]=ch[x][k^1],fa[ch[x][k^1]]=y;
    ch[x][k^1]=y,fa[y]=x;upd(y);
}

• (rot)要(upd(y))，而不是(upd(x))，如果都(upd)要先(y)再(x)，不要搞反。
• 注意一开始要先记下来(x)是哪一个儿子，然后先拆开，再接起来。

for(R y=fa[x];y!=gl;rot(x),y=fa[x])
    if(fa[y]!=gl)son(x)^son(y)?rot(x):rot(y);
upd(x);if(!gl)rt=x;

• 记得判断(y)和(gl)的关系再决定转一次还是两次还是不转。
• 一定记得更新(x)和(rt)。

splay 普通平衡树

• 每次打这个都像在做模拟题……。
• 两个log的树状数组把一个log的splay掉起来打
• treap只会过两个月现在早就忘了
• 太麻烦了，还不如树状数组或者线段树。
• 反正你又没有区间反转。
• 太热了不写了咕咕。

树链剖分

• 剖分之后一般是搞个线段树对(dfn)序维护。
• 树上路径就暴力跳重链条，两个(log)。
• 子树信息就直接是(dfn)到(dfn+sz-1)的连续区间，一个(log)。
• 如果是维护儿子信息就是(bfs)序 [SDOI2012]集合
• 但是我不会啊，咕。

倍增

• 太普及了。

左偏树

• 可并堆，注意不能路径压缩。
• 合并的时候根据堆的属性来判断，合并在右子树。
• 然后强制向左偏，我的习惯是深度向左偏。
• 记得更新(d_i=d_{rs}+1)。
• 删除元素就把两个儿子并起来。

kmp

• 核心思想是尝试匹配。
• 求(next)的时候是

j=f[i-1];
while(j>=0&&T[i]!=T[j+1])j=f[j];
if(T[i]==T[j+1])f[i]=j+1;
else f[i]=-1;

• 也就是不断尝试能否接上一个新的后缀，否则就不断跳(next)，直到为(-1)。
• 查询的时候是j=f[j-1]+1;，也就是往前走一个，再调(next)，再往后走一个，也就是(j)失配，(j-1)配对好了，那么利用(j-1)的(next)，再往后走一个。

AC自动机

• 主要思想是(fail)树。
• 先建好(trie)，然后建(fail)，然后每次匹配的时候都把(fail)的信息都收集一边。

trie

• 难道你会了(ac)自动机还不会(trie)？？
• 可持久化：和主席树差不多，序列就是相差，树上就是减去两倍(lca)
• 启发式合并：和线段树启发合并差不多，也是一个(merge)。

最小生成树

• 本来想补一下(B)算法。
• 但是咕咕了。

dinic

• 记得当前弧优化，边从(2)开始。
• 主要技巧在建图，后面都是板子。

最小费用最大流

• 同上。

主席树

• 动态开点，一般和别的数据结构结合在一起。
• 序列右边继承左边，树上儿子继承父亲。

点分治

• 你家(noip)考点分治？？咕咕。

manacher

• 记录最远到达的位置和中心。
• 然后就知道了当前点的半径下界是对称过去的半径。
• 然后暴力更新当前半径，更新最远距离和中心。

模拟退火

• 系统钟

db Tim(){return (db)clock()/(db)CLOCKS_PER_SEC;}

• 生成一个于(T)大小相关的随机，带正负。

#define RD T*(rand()*2-RAND_MAX)

• 接受更劣解的概率

exp((ans-now)/T)*RAND_MAX>rand())

• 注意，(now)是当前答案，(ans)是当前(sa)的最优解，记得保存全局最优解(bst)。
• 随机数组

random_shuffle(x+1,x+n+1);

CDQ

• 每次强制计算跨过中点的贡献。

kdtree

• 注意替罪羊的重构方法。

最小循环表示法

• 今天才学。
• 先倍长，初始时，让(i=0)，(j=1)，(k=0),其中(i)，(j)，(k)表示的是以(i)开头和以(j)开头的字符串的前k个字符相同。
• 分为三种情况
• 1.如果(str[i+k]==str[j+k]) (k++)。
• 2.如果(str[i+k] > str[j+k]) (i = i + k + 1)，即最小表示不可能以(str[i->i+k])开头。
• 3.如果(str[i+k] < str[j+k]) (j = j + k + 1)，即最小表示不可能以(str[j->j+k])开头。
• 那么只要循环(n)次，就能够判断出字符串的最小表示是以哪个字符开头。
• 为什么当(str[i+k] > str[j+k]),(i=i+k+1)，最小表示不可能以(str[i->i+k])开头,让我们来举个栗子。
• 如下图，当(i=1)，(j=5)，(k=3)时，(str[i+k] > str[j+k])。
• 首先有(S1S2S3 == S5S6S7)，(S4 > S8)。
• 那么以字符(S2)开头肯定不如以字符(S6)开头更优，因为(S4 > S8)啊。

莫队

• 太热了不写了。